Budeme pracovať s grupou G=(Z16,+) a podmnožinou M={0,4,8}⊆G.
a) Ukážte, že M nie je podgrupa G.
b) Nájdite podgrupu H grupy G takú, že M⊆H a H≠G.
c) Existuje viacero takých podgrúp? Ak nie, zdôvodnite, ak áno, nájdite ich.
d) Pre podgrupu H, ktorú ste našli v b), vypíšte triedy rozkladu G podľa podgrupy H a napíšte tabuľku faktorovej grupy G/H. S akou známou grupou je faktorová grupa G/H izomorfná?
(Druhá skupina mala veľmi podobnú úlohu - množina
M je rovnaká, ale pracujeme v grupe
Z20.)
Napíšem niečo najmä k častiam b) a c) - ostatné časti tejto úlohy sú podobné na to, čo si môžete pozrieť v predošlých úlohách v tomto topicu.
a) To, že
M nie je podgrupa vidno ľahko:
4 aj
8 sú prvky
M ale
4+8=12∉M.
b,c) V týchto častiach úlohy by sme vlastne mali nejako nájsť všetky podgrupy
G, ktoré obsahujú množinu
M.
Samozrejme, jedna taká podgrupa je aj celé
G; nás zaujímajú tie ostatné - chceme nájsť také podgrupy, pre ktoré
H≠G.
Už sme si uvedomili, že každá podgrupa obsahujúca
M musí obsahovať aj
12. Ak pridáme tento prvok, dostaneme všetky násobky štvorky patriace do
Z16, čiže takúto množinu:
H1={0,4,8,12}.
Aby sme sa presvedčili že to je podgrupa, stačí skontrolovať že súčet takýchto prvkov je znovu z
H1. (Pri konečných podmnožinách stačí overovať prvú časť kritéria podgrupy - uzavretosť na operáciu.)
To môžeme urobiť jednoducho vyskúšaním jednotlivých súčtov. (Stačí nám vlastne vyplniť tabuľku
4×4.) Alebo si môžeme rozmyslieť, čo sa stane s násobkami štvorky, keď sčitujeme modulo
16.
Našli sme teda nejakú podgrupu, ktorá obsahuje
M. Súčasne je jasné, že to je najmenšia možná taká podgrupa. (Videli sme, že akákoľvek podgrupa obsahujúca
M musí obsahovať všetky tieto prvky.)
Otázka je, či existuje ešte aj nejaké iné. Teda sa pýtame na existenciu inej podgrupy
H takej, že
H1⊆H. (A súčasne chceme
H≠H1,
H≠G.)
Môžeme si všimnúť, že:
* Ak nejaká podgrupa obsahuje
1, tak už to bude celé
G. (Pretože potom musí obsahovať
1+1=2,
2+1=3,
3+1=4, atď.)
* Ak nejaká podgrupa obsahuje všetky prvky z
H1 a nejaké nepárne číslo, tak už musí obsahovať aj
1. (Pomocou ľubovoľného nepárneho čísla patriaceho do
Z16 a prvkov z
H1 určite vieme dostať
1. Napríklad pre
3 máme
4−3=1. Pre
5 máme
5−4=1. Podobne vieme dostať
1 aj z ostatných nepárnych čísel:
1=8−7=9−8=12−11=13−12=−15.)
Takže ak sa nejaká ďalšia grupa nájde, tak musí obsahovať iba párne čísla.
Nie je ťažké si uvedomiť, že ak pridáme ešte nejaké párne číslo k
H2, tak už tam dostaneme všetky párne čísla.
* Ak si pamätáme, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy, tak možné počty prvkov sú iba
1,
2,
4,
8,
16. Teda ak nejaká podgrupa obsahuje
H1, tak musí obsahovať aspoň osem prvkov. Ak teda chceme mať grupu, kde sú iba párne čísla, tak ich už musíme zobrať všetky.
* Dá sa to aj bez toho, aby sme sa pozerali na počty prvkov - jednoducho skúšaním. Opäť si uvedomíme, že ak máme dvojku, tak dostaneme aj ostatné párne čísla (ako
2+2,
2+2+2,
2+2+2+2, atď.) A súčasne akonáhle pridáme nejaké párne číslo k
H1, tak už vieme dostať dvojku. (Napríklad ak nejaká podgrupa obsahuje
H1 a
10, tak musí obsahovať aj
10−8=2. Podobne to vyjde pre ostatné párne čísla:
2=6−4=10−8=14−12.)
Takto nájdeme ďalšiu možnú podgrupu
H2={0,2,4,6,8,10,12,14},
ktorá pozostáva zo všetkých párnych čísel v
Z16.
Na nájdenie faktorových grúp nám už stačí vypísať triedy, vyplniť tabuľku a skontrolovať, že
G/H2≅(Z2,+) a
G/H1≅(Z4,+).
V druhej skupine to vyjde podobne - opäť dostaneme iba dve podgrupy, jedna pozostáva z násobkov štvorky, druhá z párnych čísel (patriacich do
Z20). Faktorové grupy sú izomorfné so
Z2 a
Z4.