Podgrupy a faktorové grupy

Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko

Post Reply
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Podgrupy a faktorové grupy

Post by Martin Sleziak »

Zadanie
Skupina A: Budeme pracovať s grupou G=(Z12,+) a podmnožinou M={0,4,6,8}G.

Skupina B: Budeme pracovať s grupou G=(Z12,+) a podmnožinou M={0,3,6}G.

a) Ukážte, že M nie je podgrupa grupy G.
b) Nájdite podgrupu H grupy G takú, že MH a HG.
c) Zdôvodnite, že takáto podgrupa existuje práve jedna.
d) Pre podgrupu H z predošlej časti vypíšte triedy rozkladu grupy G podľa podgrupy H a napíšte tabuľku faktorovej grupy G/H. S akou známou grupou je faktorová grupa G/H izomorfná?
Táto úloha sa trochu podobá na úlohu zo staršej písomky: viewtopic.php?t=770
Tam tiež bolo treba nájsť nejakú podgrupu a urobiť faktorovú grupu.
Napíšem sem niečo k obom častiam - ako nájsť podgrupu H (a zdôvodniť že má naozaj požadované vlastnosti) a aj ako potom vyzerá rozklad a faktorová grupa.
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Podgrupy a faktorové grupy

Post by Martin Sleziak »

Nájdenie podgrupy.

Skupina A:

Akákoľvek podgrupa obsahujúca 6 a 4 musí obsahovať aj 2=64.
Z toho vidíme, že M nie je podgrupa. A tiež je z toho jasné, že každá podgrupa obsahujúca M musí obsahovať aj prvky 2 a 10=8+2.
Teraz už stačí skontrolovať, že H={0,2,4,6,8,10} je naozaj podgrupa. Keďže H je konečná, stačí skontrolovať či je uzavretá na sčitovanie (modulo 12). Alebo si uvedomiť, že ak sčítame párne čísla, výsledok je párne číslo - a ak urobíme zvyšok modulo 12 tak sa parita nezmení (keďže dvanástka je tiež párne číslo.)

Zatiaľ teda vidíme, že H je podgrupa G, pričom MH a HG.
Otázka je, ako zdôvodniť že toto je jediná grupa s týmito vlastnosťami.
Už sme videli, že každá podgrupa obsahujúca M musí obsahovať aj H. Treba si ešte rozmyslieť, že ak ku H pridáme ďalšie prvky, tak už nutne dostaneme celé G.
Jedna možnosť je využiť Lagrangeovu vetu, ktorú sme si dokázali na cvičeniach: Vieme že počet prvkov ľubovoľnej podgrupy delí počet prvkov grupy. Preto možné veľkosti podgrúp grupy (Z12,+) sú iba 1, 2, 3, 4, 6 a 12. Teda akonáhle má nejaká podgrupa viac ako šesť prvkov, už sa musí rovnať celému G.

Druhá možnosť je postupne vyskúšať, že akonáhle pridáme ešte nejaký prvok aGH, tak podgrupa obsahujúca H aj a už musí byť celé G.
Najprv si všimnime, že ak nejaká podgrupa obsahuje 1, tak už obsahuje všetky prvky z G: 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4 atď.
Teda nám stačí ukázať, že akonáhle pridáme nejaký ďalší prvok, tak už vieme dostať jednotku (z tohoto prvku a prvkov v H).
Ak pridáme:
  • a=1: Jasné
  • a=3: 32=1.
  • a=5: 54=1.
  • a=7: 76=1.
  • a=9: 98=1.
  • a=11: 1110=1.
Skupina B:

Ak nejaká podgrupa obsahuje 3 a 6, tak musí obsahovať 3+6=9.
Teda akákoľvek podgrupa obsahujúca M obsahuje H={0,3,6,9}.
Opäť nie je ťažké skontrolovať, že H je podgrupa - stačí preveriť že súčty (modulo 12) týchto prvkov padnú opäť do H. (Alebo si uvedomiť, že sú to presne násobky tri a deliteľnosť tri sa nezmení ani pri sčítaní ani pri urobení zvyšku modulo 12.)

Chceme ešte ukázať, že toto je jediná možnosť, t.j. ak pridáme nejaký prvok aH, tak už vieme dostať jednotku.
  • a=1: Jasné
  • a=2: 32=1.
  • a=4: 43=1.
  • a=5: 65=1.
  • a=7: 76=1.
  • a=8: 87=1.
  • a=10: 109=1.
  • a=11: 1110=1.
(Podobne ako v skupine A, dalo by sa uvažovať aj o počtoch prvkov, aj keď tu je o niečo komplikovanejšie. Okrem toho že počet prvkov podgrupy musí byť deliteľ 12, treba si ešte uvedomiť že ak obsahuje 4-prvkovú podgrupu H, tak to musí byť násobok štvorky.)
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Podgrupy a faktorové grupy

Post by Martin Sleziak »

Faktorová grupa.

Na nájdenie faktorovej grupy, sa stačí pozrieť na to ako vyzerajú jednotlivé triedy rozkladu.

Skupina A: Triedy rozkladu G podľa podgrupy H={0,2,4,6,8,10}
[0]={0,2,4,6,8,10}
[1]={1,3,5,7,9,11}

Ak zostavíme tabuľku, tak vidíme, že G/H je izomorfná s grupou (Z2,+).
+[0][1][0][0][1][1][1][0]+01001110


Skupina B: Pre podgrupu H={0,3,6,9} dostaneme tri triedy rozkladu:
[0]={0,3,6,9}
[1]={1,4,7,10}
[2]={2,5,8,11}

Ak zostavíme tabuľku, tak vidíme, že G/H je izomorfná s grupou (Z3,+).
+[0][1][2][0][0][1][2][1][1][2][0][2][2][0][1]+012001211202201
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Podgrupy a faktorové grupy

Post by Martin Sleziak »

Časté chyby

V niektorých písomkách sa objavili tvrdenia, že (Z6,+6) (alebo (Z10,+10) a pod.) je podgrupa grupy Z12. (Konkrétne to bola podgrupa, ktorú ste prehlásili za H.)
Pripomeniem, že ak ide o podgrupu, tak grupová operácia musí byť rovnaká ako na celej grupe (len zúžená na danú podmnožinu).
Čiže (Z6,+6) nie je podgrupa grupy (Z12,+12) pretože tam máme rôzne operácie. (Napríklad 3+63=0 ale 3+123=6.)
Martin Sleziak
Posts: 5816
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Podgrupy a faktorové grupy

Post by Martin Sleziak »

Budeme pracovať s grupou G=(Z16,+) a podmnožinou M={0,4,8}G.
a) Ukážte, že M nie je podgrupa G.
b) Nájdite podgrupu H grupy G takú, že MH a HG.
c) Existuje viacero takých podgrúp? Ak nie, zdôvodnite, ak áno, nájdite ich.
d) Pre podgrupu H, ktorú ste našli v b), vypíšte triedy rozkladu G podľa podgrupy H a napíšte tabuľku faktorovej grupy G/H. S akou známou grupou je faktorová grupa G/H izomorfná?
(Druhá skupina mala veľmi podobnú úlohu - množina M je rovnaká, ale pracujeme v grupe Z20.)

Napíšem niečo najmä k častiam b) a c) - ostatné časti tejto úlohy sú podobné na to, čo si môžete pozrieť v predošlých úlohách v tomto topicu.

a) To, že M nie je podgrupa vidno ľahko: 4 aj 8 sú prvky M ale 4+8=12M.

b,c) V týchto častiach úlohy by sme vlastne mali nejako nájsť všetky podgrupy G, ktoré obsahujú množinu M.
Samozrejme, jedna taká podgrupa je aj celé G; nás zaujímajú tie ostatné - chceme nájsť také podgrupy, pre ktoré HG.

Už sme si uvedomili, že každá podgrupa obsahujúca M musí obsahovať aj 12. Ak pridáme tento prvok, dostaneme všetky násobky štvorky patriace do Z16, čiže takúto množinu:
H1={0,4,8,12}.


Aby sme sa presvedčili že to je podgrupa, stačí skontrolovať že súčet takýchto prvkov je znovu z H1. (Pri konečných podmnožinách stačí overovať prvú časť kritéria podgrupy - uzavretosť na operáciu.)
To môžeme urobiť jednoducho vyskúšaním jednotlivých súčtov. (Stačí nám vlastne vyplniť tabuľku 4×4.) Alebo si môžeme rozmyslieť, čo sa stane s násobkami štvorky, keď sčitujeme modulo 16.

Našli sme teda nejakú podgrupu, ktorá obsahuje M. Súčasne je jasné, že to je najmenšia možná taká podgrupa. (Videli sme, že akákoľvek podgrupa obsahujúca M musí obsahovať všetky tieto prvky.)

Otázka je, či existuje ešte aj nejaké iné. Teda sa pýtame na existenciu inej podgrupy H takej, že H1H. (A súčasne chceme HH1, HG.)

Môžeme si všimnúť, že:
* Ak nejaká podgrupa obsahuje 1, tak už to bude celé G. (Pretože potom musí obsahovať 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, atď.)
* Ak nejaká podgrupa obsahuje všetky prvky z H1 a nejaké nepárne číslo, tak už musí obsahovať aj 1. (Pomocou ľubovoľného nepárneho čísla patriaceho do Z16 a prvkov z H1 určite vieme dostať 1. Napríklad pre 3 máme 43=1. Pre 5 máme 54=1. Podobne vieme dostať 1 aj z ostatných nepárnych čísel: 1=87=98=1211=1312=15.)

Takže ak sa nejaká ďalšia grupa nájde, tak musí obsahovať iba párne čísla.
Nie je ťažké si uvedomiť, že ak pridáme ešte nejaké párne číslo k H2, tak už tam dostaneme všetky párne čísla.
* Ak si pamätáme, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy, tak možné počty prvkov sú iba 1, 2, 4, 8, 16. Teda ak nejaká podgrupa obsahuje H1, tak musí obsahovať aspoň osem prvkov. Ak teda chceme mať grupu, kde sú iba párne čísla, tak ich už musíme zobrať všetky.
* Dá sa to aj bez toho, aby sme sa pozerali na počty prvkov - jednoducho skúšaním. Opäť si uvedomíme, že ak máme dvojku, tak dostaneme aj ostatné párne čísla (ako 2+2, 2+2+2, 2+2+2+2, atď.) A súčasne akonáhle pridáme nejaké párne číslo k H1, tak už vieme dostať dvojku. (Napríklad ak nejaká podgrupa obsahuje H1 a 10, tak musí obsahovať aj 108=2. Podobne to vyjde pre ostatné párne čísla: 2=64=108=1412.)

Takto nájdeme ďalšiu možnú podgrupu H2={0,2,4,6,8,10,12,14},
ktorá pozostáva zo všetkých párnych čísel v Z16.

Na nájdenie faktorových grúp nám už stačí vypísať triedy, vyplniť tabuľku a skontrolovať, že G/H2(Z2,+) a G/H1(Z4,+).

V druhej skupine to vyjde podobne - opäť dostaneme iba dve podgrupy, jedna pozostáva z násobkov štvorky, druhá z párnych čísel (patriacich do Z20). Faktorové grupy sú izomorfné so Z2 a Z4.
Post Reply