Podgrupy a faktorové grupy

[Martin Sleziak]

Zadanie

Skupina A: Budeme pracovať s grupou $G=(\mathbb Z_{12},+)$ a podmnožinou $M=\{0,4,6,8\}\subseteq G$.

Skupina B: Budeme pracovať s grupou $G=(\mathbb Z_{12},+)$ a podmnožinou $M=\{0,3,6\}\subseteq G$.

a) Ukážte, že $M$ nie je podgrupa grupy $G$.
b) Nájdite podgrupu $H$ grupy $G$ takú, že $M\subseteq H$ a $H\ne G$.
c) Zdôvodnite, že takáto podgrupa existuje práve jedna.
d) Pre podgrupu $H$ z predošlej časti vypíšte triedy rozkladu grupy $G$ podľa podgrupy $H$ a napíšte tabuľku faktorovej grupy $G/H$. S akou známou grupou je faktorová grupa $G/H$ izomorfná?

Táto úloha sa trochu podobá na úlohu zo staršej písomky: viewtopic.php?t=770
Tam tiež bolo treba nájsť nejakú podgrupu a urobiť faktorovú grupu.
Napíšem sem niečo k obom častiam - ako nájsť podgrupu $H$ (a zdôvodniť že má naozaj požadované vlastnosti) a aj ako potom vyzerá rozklad a faktorová grupa.

[Martin Sleziak]

Nájdenie podgrupy.

Skupina A:

Akákoľvek podgrupa obsahujúca $6$ a $4$ musí obsahovať aj $2=6-4$.
Z toho vidíme, že $M$ nie je podgrupa. A tiež je z toho jasné, že každá podgrupa obsahujúca $M$ musí obsahovať aj prvky $2$ a $10=8+2$.
Teraz už stačí skontrolovať, že $H=\{0,2,4,6,8,10\}$ je naozaj podgrupa. Keďže $H$ je konečná, stačí skontrolovať či je uzavretá na sčitovanie (modulo $12$). Alebo si uvedomiť, že ak sčítame párne čísla, výsledok je párne číslo - a ak urobíme zvyšok modulo $12$ tak sa parita nezmení (keďže dvanástka je tiež párne číslo.)

Zatiaľ teda vidíme, že $H$ je podgrupa $G$, pričom $M\subseteq H$ a $H\ne G$.
Otázka je, ako zdôvodniť že toto je jediná grupa s týmito vlastnosťami.
Už sme videli, že každá podgrupa obsahujúca $M$ musí obsahovať aj $H$. Treba si ešte rozmyslieť, že ak ku $H$ pridáme ďalšie prvky, tak už nutne dostaneme celé $G$.
Jedna možnosť je využiť Lagrangeovu vetu, ktorú sme si dokázali na cvičeniach: Vieme že počet prvkov ľubovoľnej podgrupy delí počet prvkov grupy. Preto možné veľkosti podgrúp grupy $(\mathbb Z_{12},+)$ sú iba 1, 2, 3, 4, 6 a 12. Teda akonáhle má nejaká podgrupa viac ako šesť prvkov, už sa musí rovnať celému $G$.

Druhá možnosť je postupne vyskúšať, že akonáhle pridáme ešte nejaký prvok $a\in G\setminus H$, tak podgrupa obsahujúca $H$ aj $a$ už musí byť celé $G$.
Najprv si všimnime, že ak nejaká podgrupa obsahuje $1$, tak už obsahuje všetky prvky z $G$: $1+1=2$, $2+1=3$, $3+1=4$ atď.
Teda nám stačí ukázať, že akonáhle pridáme nejaký ďalší prvok, tak už vieme dostať jednotku (z tohoto prvku a prvkov v $H$).
Ak pridáme:

• $a=1$: Jasné
• $a=3$: $3-2=1$.
• $a=5$: $5-4=1$.
• $a=7$: $7-6=1$.
• $a=9$: $9-8=1$.
• $a=11$: $11-10=1$.

Skupina B:

Ak nejaká podgrupa obsahuje $3$ a $6$, tak musí obsahovať $3+6=9$.
Teda akákoľvek podgrupa obsahujúca $M$ obsahuje $H=\{0,3,6,9\}$.
Opäť nie je ťažké skontrolovať, že $H$ je podgrupa - stačí preveriť že súčty (modulo $12$) týchto prvkov padnú opäť do $H$. (Alebo si uvedomiť, že sú to presne násobky tri a deliteľnosť tri sa nezmení ani pri sčítaní ani pri urobení zvyšku modulo $12$.)

Chceme ešte ukázať, že toto je jediná možnosť, t.j. ak pridáme nejaký prvok $a\notin H$, tak už vieme dostať jednotku.

• $a=1$: Jasné
• $a=2$: $3-2=1$.
• $a=4$: $4-3=1$.
• $a=5$: $6-5=1$.
• $a=7$: $7-6=1$.
• $a=8$: $8-7=1$.
• $a=10$: $10-9=1$.
• $a=11$: $11-10=1$.

(Podobne ako v skupine A, dalo by sa uvažovať aj o počtoch prvkov, aj keď tu je o niečo komplikovanejšie. Okrem toho že počet prvkov podgrupy musí byť deliteľ $12$, treba si ešte uvedomiť že ak obsahuje $4$-prvkovú podgrupu $H$, tak to musí byť násobok štvorky.)

[Martin Sleziak]

Faktorová grupa.

Na nájdenie faktorovej grupy, sa stačí pozrieť na to ako vyzerajú jednotlivé triedy rozkladu.

Skupina A: Triedy rozkladu $G$ podľa podgrupy $H=\{0,2,4,6,8,10\}$ sú
$[0]=\{0,2,4,6,8,10\}$
$[1]=\{1,3,5,7,9,11\}$

Ak zostavíme tabuľku, tak vidíme, že $G/H$ je izomorfná s grupou $(\mathbb Z_2,+)$.
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & [0] & [1] \\\hline
[0] & [0] & [1] \cr
[1] & [1] & [0]
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\\hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
\end{array}
$$

Skupina B: Pre podgrupu $H=\{0,3,6,9\}$ dostaneme tri triedy rozkladu:
$[0]=\{0,3,6,9\}$
$[1]=\{1,4,7,10\}$
$[2]=\{2,5,8,11\}$

Ak zostavíme tabuľku, tak vidíme, že $G/H$ je izomorfná s grupou $(\mathbb Z_3,+)$.
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|ccc}
+ & [0] & [1] & [2] \\\hline
[0] & [0] & [1] & [2] \cr
[1] & [1] & [2] & [0] \cr
[2] & [2] & [0] & [1]
\end{array}
&
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 & 1 & 2 \\\hline
0 & 0 & 1 & 2 \cr
1 & 1 & 2 & 0 \cr
2 & 2 & 0 & 1
\end{array}
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Časté chyby

V niektorých písomkách sa objavili tvrdenia, že $(\mathbb Z_6,+_6)$ (alebo $(\mathbb Z_{10},+_{10})$ a pod.) je podgrupa grupy $\mathbb Z_{12}$. (Konkrétne to bola podgrupa, ktorú ste prehlásili za $H$.)
Pripomeniem, že ak ide o podgrupu, tak grupová operácia musí byť rovnaká ako na celej grupe (len zúžená na danú podmnožinu).
Čiže $(\mathbb Z_6,+_6)$ nie je podgrupa grupy $(\mathbb Z_{12},+_{12})$ pretože tam máme rôzne operácie. (Napríklad $3+_63=0$ ale $3+_{12}3=6$.)

[Martin Sleziak]

Budeme pracovať s grupou $G=(\mathbb Z_{16},+)$ a podmnožinou $M=\{0,4,8\}\subseteq G$.
a) Ukážte, že $M$ nie je podgrupa $G$.
b) Nájdite podgrupu $H$ grupy $G$ takú, že $M\subseteq H$ a $H\ne G$.
c) Existuje viacero takých podgrúp? Ak nie, zdôvodnite, ak áno, nájdite ich.
d) Pre podgrupu $H$, ktorú ste našli v b), vypíšte triedy rozkladu $G$ podľa podgrupy $H$ a napíšte tabuľku faktorovej grupy $G/H$. S akou známou grupou je faktorová grupa $G/H$ izomorfná?

(Druhá skupina mala veľmi podobnú úlohu - množina $M$ je rovnaká, ale pracujeme v grupe $\mathbb Z_{20}$.)

Napíšem niečo najmä k častiam b) a c) - ostatné časti tejto úlohy sú podobné na to, čo si môžete pozrieť v predošlých úlohách v tomto topicu.

a) To, že $M$ nie je podgrupa vidno ľahko: $4$ aj $8$ sú prvky $M$ ale $4+8=12\notin M$.

b,c) V týchto častiach úlohy by sme vlastne mali nejako nájsť všetky podgrupy $G$, ktoré obsahujú množinu $M$.
Samozrejme, jedna taká podgrupa je aj celé $G$; nás zaujímajú tie ostatné - chceme nájsť také podgrupy, pre ktoré $H\ne G$.

Už sme si uvedomili, že každá podgrupa obsahujúca $M$ musí obsahovať aj $12$. Ak pridáme tento prvok, dostaneme všetky násobky štvorky patriace do $\mathbb Z_{16}$, čiže takúto množinu:
$$H_1=\{0,4,8,12\}.$$

Aby sme sa presvedčili že to je podgrupa, stačí skontrolovať že súčet takýchto prvkov je znovu z $H_1$. (Pri konečných podmnožinách stačí overovať prvú časť kritéria podgrupy - uzavretosť na operáciu.)
To môžeme urobiť jednoducho vyskúšaním jednotlivých súčtov. (Stačí nám vlastne vyplniť tabuľku $4\times4$.) Alebo si môžeme rozmyslieť, čo sa stane s násobkami štvorky, keď sčitujeme modulo $16$.

Našli sme teda nejakú podgrupu, ktorá obsahuje $M$. Súčasne je jasné, že to je najmenšia možná taká podgrupa. (Videli sme, že akákoľvek podgrupa obsahujúca $M$ musí obsahovať všetky tieto prvky.)

Otázka je, či existuje ešte aj nejaké iné. Teda sa pýtame na existenciu inej podgrupy $H$ takej, že $H_1\subseteq H$. (A súčasne chceme $H\ne H_1$, $H\ne G$.)

Môžeme si všimnúť, že:
* Ak nejaká podgrupa obsahuje $1$, tak už to bude celé $G$. (Pretože potom musí obsahovať $1+1=2$, $2+1=3$, $3+1=4$, atď.)
* Ak nejaká podgrupa obsahuje všetky prvky z $H_1$ a nejaké nepárne číslo, tak už musí obsahovať aj $1$. (Pomocou ľubovoľného nepárneho čísla patriaceho do $\mathbb Z_{16}$ a prvkov z $H_1$ určite vieme dostať $1$. Napríklad pre $3$ máme $4-3=1$. Pre $5$ máme $5-4=1$. Podobne vieme dostať $1$ aj z ostatných nepárnych čísel: $1=8-7=9-8=12-11=13-12=-15$.)

Takže ak sa nejaká ďalšia grupa nájde, tak musí obsahovať iba párne čísla.
Nie je ťažké si uvedomiť, že ak pridáme ešte nejaké párne číslo k $H_2$, tak už tam dostaneme všetky párne čísla.
* Ak si pamätáme, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy, tak možné počty prvkov sú iba $1$, $2$, $4$, $8$, $16$. Teda ak nejaká podgrupa obsahuje $H_1$, tak musí obsahovať aspoň osem prvkov. Ak teda chceme mať grupu, kde sú iba párne čísla, tak ich už musíme zobrať všetky.
* Dá sa to aj bez toho, aby sme sa pozerali na počty prvkov - jednoducho skúšaním. Opäť si uvedomíme, že ak máme dvojku, tak dostaneme aj ostatné párne čísla (ako $2+2$, $2+2+2$, $2+2+2+2$, atď.) A súčasne akonáhle pridáme nejaké párne číslo k $H_1$, tak už vieme dostať dvojku. (Napríklad ak nejaká podgrupa obsahuje $H_1$ a $10$, tak musí obsahovať aj $10-8=2$. Podobne to vyjde pre ostatné párne čísla: $2=6-4=10-8=14-12$.)

Takto nájdeme ďalšiu možnú podgrupu $$H_2=\{0,2,4,6,8,10,12,14\},$$ ktorá pozostáva zo všetkých párnych čísel v $\mathbb Z_{16}$.

Na nájdenie faktorových grúp nám už stačí vypísať triedy, vyplniť tabuľku a skontrolovať, že $G/H_2\cong (\mathbb Z_2,+)$ a $G/H_1\cong \left(\mathbb Z_4,+\right)$.

V druhej skupine to vyjde podobne - opäť dostaneme iba dve podgrupy, jedna pozostáva z násobkov štvorky, druhá z párnych čísel (patriacich do $\mathbb Z_{20}$). Faktorové grupy sú izomorfné so $\mathbb Z_2$ a $\mathbb Z_4$.