3. úloha - podgrupy, faktorová grupa

[Martin Sleziak]

Skupina A

a) Nájdite všetky podgrupy grupy $(\mathbb{Z}_{12},+)$, vypíšte ich prvky.

b) Označme najväčšiu vlastnú podgrupu grupy $\mathbb{Z}_{12}$ ako $G$. (Teda podgrupu $G\subseteq\mathbb Z_{12}$ takú, že $G \neq \mathbb{Z}_{12}$ a spomedzi takých podgrúp má najväčší počet prvkov). Vypíšte prvky $\mathbb{Z}_{12}/G$ (triedy ekvivalencie) a tabuľku grupovej operácie pre túto faktorovú grupu. S akou známou grupou je táto grupa izomorfná?

Skupina B

a) Nájdite všetky podgrupy grupy $(\mathbb{Z}_{15},+)$, vypíšte ich prvky.

b) Označme najväčšiu vlastnú podgrupu grupy $\mathbb{Z}_{15}$ ako $G$. (Teda podgrupu $G\subseteq\mathbb Z_{15}$ takú, že $G \neq \mathbb{Z}_{15}$ a spomedzi takých podgrúp má najväčší počet prvkov). Vypíšte prvky $\mathbb{Z}_{15}/G$ (triedy ekvivalencie) a tabuľku grupovej operácie pre túto faktorovú grupu. S akou známou grupou je táto grupa izomorfná?

Jeden z dôvodov, prečo sme zadanie sformulovali takto: Zdalo sa (napríklad podľa konzultácií), že s pojmom faktorovej grupy sú výrazné problémy. Tak sme urobili takéto zadanie - s tým, že aj človek, ktorý neovláda faktorové grupy, by mohol byť schopný zvládnuť aspoň časť a) a získať polovicu bodov. (V prvej časti vlastne stačilo vedieť, čo to znamená, že $G$ je podgrupa.)

V písomkách, ktoré som opravoval, to tak nedopadlo. Skôr to skončilo tak, že väčšina ľudí nevedela nájsť podgrupy. (A tým pádom v podstate ani nemohla riešiť časť b), keď v prvej časti nenašla správnu podgrupu $G$.) Pozitívom je, že ste zistili, že máte problém s pojmom podgrupy a do skúšky sa ho bude treba doučiť. (Aj to je vec, na ktorú sú písomky dobré.)

[Martin Sleziak]

Nájdenie všetkých podgrúp$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

Chceme nájsť všetky podgrupy zadanej grupy. Ide o pomerne jednoduché grupy, takže tu sa to dá viac-menej "skúšaním možností"; nižšie skúsim napísať možný postup detailnejšie.

Ešte spomeniem, že ak mám konečnú grupu, tak počet prvkov ľubovoľnej podgrupy je deliteľ počtu prvkov grupy. Teda pre 15-prvkovú podgrupu sú možné počty prvkov podgrúp 1,3,5,15. Pre 12-prvkovú podgrupu môžu mať podgrupy iba 1,2,3,4,6 alebo 12 prvkov. Túto vec sme však ani na cviku ani na prednáške nedokazovali. Kto chce, môže sa nad ňou zamyslieť - pridal som ju medzi úlohy, ktoré môžete riešiť na fóre: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=728

Pripomeňme ešte, čo to znamená, že podmnožina $H$ grupy $(G,*)$ je podgrupa. Podľa kritéria podgrupy to je ekvivalentné s tým, že

• Ak $x,y\in H$, tak aj $x*y\in H$.
• Ak $x\in H$, tak aj $x^{-1}\in H$

Ako sme sa však naučili pri riešení jednej z prednáškových úloh (úloha 1.4.6(4)), ak $H$ je konečná, stačí nám overovať iba prvú podmienku.

Keďže v tejto úlohe pracujeme iba s konečnými množinami, podmnožiny sú presne tie množiny, ktorú sú uzavreté na operáciu $+$.

Takisto sa oplatí pripomenúť, že pre každú grupu je celá grupa jej vlastnou podgrupou. A takisto máme podgrupu obsahujúcu iba neutrálny prvok.

Skupina A: Chceme nájsť všetky podgrupy grupy $\Z_{12}$.

Vieme, že $\{0\}$ a $\Z_{12}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ sú podgrupy. Poďme skúsiť hľadať ďalšie podgrupy.

Čo sa stane, ak nejaká podgrupa $G$ obsahuje prvok $1$? Potom musí obsahovať aj $1+1=2$, $2+1=3$, $3+1=4$ atď. Teda to bude celá grupa $\Z_{12}$.

Takúto istú úvahu chceme urobiť s ostatnými prvkami. Pre prípad, že to pomôže prehľadnosti, skúsim napísať do tabuľky, čo dostanem z jednotlivých prvkov, keď ich opakovane sčitujem.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a & 0\times a & 1\times a & 2\times a & 3\times a & 4\times a & 5\times a & 6\times a & 7\times a & 8\times a & 9\times a & 10\times a & 11\times a \\\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\hline
2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\\hline
3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 0 & 3 & 6 & 9 & 0 & 3 & 6 & 9 \\\hline
4 & 0 & 4 & 8 & 0 & 4 & 8 & 0 & 4 & 8 & 0 & 4 & 8 \\\hline
5 & 0 & 5 & 10 & 3 & 8 & 1 & 6 & 11 & 4 & 9 & 2 & 7 \\\hline
6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 & 6 \\\hline
7 & 0 & 7 & 2 & 9 & 4 & 11 & 6 & 1 & 8 & 3 & 10 & 5 \\\hline
8 & 0 & 8 & 4 & 0 & 8 & 4 & 0 & 8 & 4 & 0 & 8 & 4 \\\hline
9 & 0 & 9 & 6 & 3 & 0 & 9 & 6 & 3 & 0 & 9 & 6 & 3 \\\hline
10 & 0 & 10 & 8 & 6 & 4 & 2 & 0 & 10 & 8 & 6 & 4 & 2 \\\hline
11 & 0 & 11 & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\hline
\end{array}
$$

Môžeme si všimnúť, že riadky 7 až 11 sú symetrické oproti zodpovedajúcim riadkom 1 až 5. V podstate by nám stačilo vyplniť prvú polovicu tabuľky a uvedomiť si, že pre inverzné prvky to funguje podobne.

Skúsme sa ale hlavne pozrieť na to, čo nám táto tabuľka hovorí.

Ak sa pozrieme napríklad na riadok $5$, tak vidíme takúto vec: Ak podgrupa obsahuje prvok $5$, tak už musí obsahovať všetky prvky zo $\Z_{12}$. (Aby som zistil tento fakt, tak som vlastne nemusel vyplniť celý riadok - mohol som sa zastaviť, keď som dostal v tomto riadku prvok $1$.) Podobnú vlastnosť majú $7$ aj $11$.

Čo vieme z ostatných riadkov? Napríklad v riadku $2$ sme dostali čísla z množiny $\{0,2,4,6,8,10\}$. Vidíme, že každá podgrupa obsahujúca $2$ musí obsahovať všetky tieto prvky. A ľahko sa dá skontrolovať, že toto je skutočne podgrupa. (Že táto množina je uzavretá na sčitovanie.) Presne rovnakým spôsobom dostaneme podgrupy v ďalších riadkoch.

Zatiaľ sme našli podgrupy (zoradené podľa veľkosti):
$\{0\}$
$6\Z_2=\{0,6\}$
$4\Z_3=\{0,4,8\}$
$3\Z_4=\{0,3,6,9\}$
$2\Z_6=\{0,2,4,6,8,10\}$
$\Z_{12}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$

Poznámka k označeniu: Zvolil som podobné označenie na aké ste zvyknutí z podgrúp grupy $(\Z,+)$. Tam ste dokonca mali dôkaz, že každá podgrupa je tvaru $m\Z$.
Napríklad zápisom $3\Z_4$ myslím toto: Zoberte si množinu $\Z_4=\{0,1,2,3\}$ a každý prvok vynásobte trojkou.
Nie je ale príliš dôležité ako tieto grupy označím. Nejako ich potrebujem označiť, lebo s nimi chcem robiť niečo ďalej.

Našli sme niekoľko podgrúp. Stále však nevieme, či sú všetky.
Na to, že už ďalšie grupy nie sú sa dá prísť zhruba takýmito úvahami:
Mohli by sme pridať niečo k $2\Z_6$ tak, aby sme dostali nejakú grupu, čo nemám na zozname? Ak tam pridáme napríklad $5$, tak nová podgrupa musí obsahovať $6-5=1$, a bude to celé $\Z_{12}$. To isté sa stane, ak skúsime pridať akékoľvek nepárne číslo.
Skúsme sa pozrieť na $4\Z_3$. (Aby sme si vyskúšali aj možnosť, kde to je trochu komplikovanejšie.) Ak pridáme napríklad číslo $5$, tak dostaneme $1=5-4$. Podobne napríklad pre $3$ dostaneme $1=4-3$. Teda po pridaní ktoréhokoľvek z prvkov $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$ dostaneme celé $\Z_{12}$.
Čo sa stane ak pridáme k $4\Z_3$ nejaké párne číslo, napríklad $6$? Potom musí naša podgrupa obsahovať $2=6-4$. Ale už sme videli, že podgrupy obsahujúce číslo $2$ sú iba $2\Z_6$ a $\Z_{12}$. Nedostaneme teda nič nové.
Podobne si to treba rozmyslieť pre ostatné podgrupy z uvedeného zoznamu.

Zistili sme teda, že všetky podgrupy grupy $\Z_{12}$ sú $\{0\}$, $6\Z_2$, $4\Z_3$, $3\Z_4$, $2\Z_6$ a $\Z_{12}$. Najväčšia vlastná podgrupa je $2\Z_6=\{0,2,4,6,8,10\}$.


Skupina B: Chceme nájsť všetky podgrupy grupy $\Z_{15}$.

Presne rovnakými úvahami ako som písal vyššie pre $\Z_{12}$ zistím, že v tomto prípade sú všetky podgrupy grupy $\Z_{15}$:
$\{0\}$
$5\Z_3=\{0,5,10\}$
$3\Z_5=\{0,3,6,9,12\}$
$\Z_{15}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$

Najväčšia vlastná podgrupa je $3\Z_5=\{0,3,6,9,12\}$.

[Martin Sleziak]

Faktorová grupa$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

Teraz by sme mali nájsť faktorovú grupu zadanej grupy podľa podgrupy $G$, ktorú sme našli.

Pripomeňme, že faktorovú grupu dostaneme na základe relácie ekvivalencie definovanej ako $x\sim y \Leftrightarrow x-y\in G$.

V triede ekvivalencie $[y]$ prvku $y$ sú tie prvky, pre ktoré platí $x-y\in G$. Inak povedané, sú to presne prvky tvaru $y+g$, kde $g\in G$.

Pretože robíme s konečnými grupami, tak sa dá vypísať všetky triedy a zostaviť tabuľku grupovej operácie.

Skupina A

Chceme nájsť faktorovú grupu $\Z_{12}/\{0,2,4,6,8,10\}$.

Triedy sú
$[0]=\{0,2,4,6,8,10\}$
$[1]=\{1,3,5,7,9,11\}$

Tabuľka grupovej operácie je
$$
\begin{array}{c|cc}
+ & [0] & [1] \\\hline
[0] & [0] & [1]\\
[1] & [1] & [0]
\end{array}
$$

Vidíme, že táto grupa je izomorfná s grupou $(\Z_2,+)$
$$
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\\hline
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
$$

Skupina B

Chceme nájsť faktorovú grupu $\Z_{15}/\{0,3,6,9,12\}$.

Triedy sú:
$[0]=\{0,3,6,9,12\}$
$[1]=\{1,4,7,10,13\}$
$[2]=\{2,5,8,11,14\}$

Tabuľka grupovej operácie je
$$
\begin{array}{c|ccc}
+ & [0] & [1] & [2] \\\hline
[0] & [0] & [1] & [2] \\
[1] & [1] & [2] & [0] \\
[2] & [2] & [0] & [1]
\end{array}
$$

Vidíme, že táto grupa je izomorfná s grupou $(\Z_3,+)$:
$$
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 & 1 & 2 \\\hline
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Komentáre k vaším riešeniam$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

Úlohu som bodoval pomerne mierne. Ak ste napríklad našli nejakú podgrupu a pre ňu správne napísali ako vyzerá faktorová grupa, tak som za to tiež dal nejaké podby - aj v prípade, že to nebolo najväčšia vlastná podgrupa, ktorú ste mali za úlohu hľadať.

Nenašli ste podgrupy

Väčšina z vás vypísala nejaký zoznam podmnožín danej grupy a tvrdili ste, že sú to podgrupy. Zvyčajne väčšina vecí, ktoré ste tam napísali, neboli ani podgrupy.

Pripomeniem definíciu podgrupy: Ak $(G,*)$ je grupa, tak $H$ voláme podgrupa, ak $H$ tvorí grupu s tou istou operáciou zúženou na podmnožinu $H$.
Často ste napríklad písali, že $\Z_{11}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ je podgrupa grupy $\Z_{12}$.
Je pravda, že $\Z_{11}$ tvorí grupu so sčitovaním modulo 11. A je pravda, že to je podmnožina množiny $\Z_{12}$. Ak však máme overiť, či to je podgrupa, tak musíme brať rovnakú operáciu t.j. sčitovanie modulo $12$.

Takisto sa môžete presvedčiť, že to nie je podgrupa, aj na základe kritéria podgrupy. Ak by $\Z_{11}$ bola podgrupa grupy $\Z_{12}$, tak by mala byť uzavretá na grupovú operáciu. T.j. súčet (modulo 12) ľubovoľných dvoch prvkov zo $\Z_{11}$ by opäť musel byť v $\Z_{11}$. To očividne neplatí; napríklad máme $1+10=11\notin\Z_{11}$.

Veta o izomorfizme

Viacerí z vás ste riešili niečo podobné, ako sme robili tu: viewtopic.php?t=769

Možno som mal zobrať tak, že ste riešili niečo úplne iné, ako ste mali. (Je možné, že keď ste nevedeli riešiť zadanú úlohu, tak ste skúšali robiť niečo iné, čo ste si pamätali.)

Dal som za takýto postup nejaké body - lebo nejako súvisí so zadanou úlohou. Aj keď vysvetlenie ako to súvisí, by som skôr čakal od vás.

Napríklad mám pred sebou otvorenú písomku, kde niekto našiel homomorfizmus $f\colon \Z_{15}\to\Z_5$ taký, že $\operatorname{Ker} f=5\Z_3$.
Tým ste vlastne zistili (podľa vety o izomorfizme), že $5\Z_3$ je podgrupa a že platí $\Z_{15}/5\Z_3\cong \Z_5$.
Teda ste skutočne našli nejakú podgrupu a zistili ste s čím je izomorfná faktorová grupa.
Ak ste našli viacero takýchto homomorfizmov, tak máte viacero takýchto podgrúp a im zodpovedajúcich faktorových grúp.
Aby bolo riešenie úplné tak by bolo treba:
a) Nejako zdôvodniť, či jadrá homomorfizmov, ktoré ste našli, sú všetky možné podgrupy. (Platí veta, že v komutatívnej grupe je každá podgrupa jadrom homomorfizmu, myslím si, že ste ju však na tejto prednáške nemali. Na Algebra 1 v druhom ročníku sa s ňou niektorí stretnete v trochu všeobecnejšom kontexte.)
b) Vybrať spomedzi tých podgrúp najväčšiu a pre ňu je faktorová grupa tá, na ktorú sme sa pýtali v druhej časti.
Takéto riešenie som teda ohodnotil za 3 body - keďže tam toho ešte dosť chýba k tomu, aby to bolo úplné riešenie zadanej úlohy. (A navyše ste ani nenapísali nič k tomu, ako to, čo robíte, súvisí s pôvodným zadaním.)

[Martin Sleziak]

Už sme videli (Veta 1.6.9 v LAG1), že podgrupy $(\mathbb Z,+)$ sú iba také množiny, ktoré pozostávajú z násobkov jedného konkrétneho prvku.

Práve sme overili, že podobne to je aj pre grupy $(\mathbb Z_{12},+)$ a $(\mathbb Z_{15},+)$.

To isté platí pre podgrupy $(\mathbb Z_n,+)$; dôkaz by sa dal urobiť do značnej miery podobne ako dôkaz vety 1.6.9. S niečím takýmto sa ešte stretnete na Algebre 2, keď sa budete učiť o cyklických grupách.

[Matej Martinka]

Chcel by som prispieť s jedným zaujímavým faktom, ktorý mi napadol v súvislosti s vetou o faktorovom izomofizme. Veta o faktorovom izomorfizme uvažuje zobrazenie f hocijaké, vtedy G/Ker(f)~=Im(f) ("~=" má byť "je izomorfná s") alebo surjektívne, vtedy G/Ker(f)~=H. Všimol som si toto: keď vo vete o faktorovom izomorfizme uvažujeme injektívne zobrazenie medzi grupami, Ker(f) tvorí iba neutrálny prvok. Z toho nám vyplynie, že relácia, ktorá tvorí faktorovú grupu G/Ker(f) musí byť relácia rovnosti. Podmienkou je, aby obe grupy, G aj H boli komutatívne, tento predpoklad sa však nachádza už medzi predpokladmi vety o faktorovom izomorfizme.