Úloha 11.2. Vypočítajte determinant matice

[richardbiro]

Úloha 11.2. Vypočítajte determinant matice

\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}

Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c ∈ R$?


Determinant matice vypočítame podľa Sarrusovho pravidla:
\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}
$2(c - 1)c + (c + 1)2c*c + 0*2*c - 0*(c - 1)*c - 2*2c*c - (c + 1)*2*c = 2c^3 - 2c^2 - 4c = 2c(c^2 - c - 2) = 2c(c - 2)(c + 1)$

Na čiastočné vyriešenie hodnosti využijeme tvrdenie, že ak má matica nulový riadok, tak jej determinant je nulový. Obmenená veta potom hovorí, že ak determinant nie je nulový, tak zadaná matica neobsahuje nulový riadok, a teda jej hodnosť musí byť 3. Výraz $2c(c - 2)(c + 1)$ nie je nulový práve vtedy, keď $c\neq0, c\neq2, c\neq-1$.

Preto s istotou vieme povedať, že ak $c\neq0, c\neq2, c\neq-1$, tak hodnosť zadanej matice je 3. Prípady $c = 0, c = 2, c = -1$ musíme doriešiť samostatne.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.
Pridám linku na staršie riešenie: viewtopic.php?t=1195