Úloha 5.2: Nezávislosť $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2^2}$ nad $\mathbb Q$

[janetatomas]

Úloha 5.2. Ukážte, že $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$.

Označme $x = \sqrt[3]{2}$. Chceme dokázať že pre všetky racionálne čísla $a,b,c$ platí
$$ax + bx^2 + c \neq 0$$.

Najprv dokážeme ze $x$ a $x^2$ su iracionálne čísla.
Sporom nech $x = \frac{p}{q}$, p a q nesúdeliteľné celé čísla.
Potom $2 = \frac{p^3}{q^3}$, $2 \mid p^3$, $2 \mid p$, $p = 2k$, kde k je celé číslo.
$$2 = \frac{p^3}{q^3} = \frac{8k^3}{q^3}, q^3 = 4k^3$$.
Potom $2 \mid q^3, 2 \mid q$. To je ale spor s tým ze $\gcd(p,q) = 1$.

Nech $x^2 = \frac{p}{q}$, p a q su nesúdeliteľné celé čísla.
Potom $x^2 = \frac{2}{x}$, $x = \frac{2q}{p}$, čo je spor s tým že x je iracionálne.

Nech pre nejake racionálne čísla a,b,c platí že aspoň jedno z nich je nenulové a zároveň $$ax + bx^2 + c = 0$$
Dokážeme že ak plati posledná rovnica a niektoré z čisel a,b,c je nulové, sú nulové všetky.
Nech $a = 0$, potom $$bx^2 = -c$$. Teda $x^2$ je racionálne. Podobne ak je b nulové, x je racionálne. Nech $c = 0$, $ax = -bx^2$, keďže $x \neq 0, a = -bx$.
(Vo všetkých 3 prípadoch sme prišli ku sporu).
Predpokladajme že ani jedno z čísel a,b,c nie je nulové.

Potom $$(ax + c)(ax-c) = -bx^2(ax-c)$$, (mohli sme rovnicu násobiť číslom $ax-c$, pretože x je iracionálne a teda $ax-c \neq 0$)
Úpravami dostaneme $$(a^2-bc)x^2 = -bax^3 = -2ab-c^2$$.

Potom buď $$a^2-bc = 2ab + c^2 = 0$$, alebo je $x^2$ racionálne číslo.
Nech $a^2 = bc$, $c^2 = 2ab$. Pretože $a \neq 0 \neq c$, $a^2 > 0$, $c^2 > 0$.
Potom pretože $a^2 = bc$, $c^2 = 2ab$, čísla b a c musia mať rovnaké znamienka, a tiež čísla a a b musia mať rovnaké znamienka. Teda všetky tri čísla a,b,c maju rovnaké znamienka. To je ale spor, pretože ak sú všetky kladné, každý člen na ľavej strane rovnice $$ax + bx^2 + c = 0$$ je tiež kladný ($x > 0$), a teda ich súčet nemôže byť $0$. Ak sú všetky š čísla záporné je súčet členov na ľavej strane rovnice záporný a ich súčet nemôže byť nula.

To znamená že také racionálne čísla a,b,c neexistujú.

[Martin Sleziak]

Potom $$(ax + c)(ax-c) = -bx^2(ax-c)$$, (mohli sme rovnicu násobiť číslom $ax-c$, pretože x je iracionálne a teda $ax-c \neq 0$)
Úpravami dostaneme $$(a^2-bc)x^2 = -bax^3 = -2ab-c^2$$.

Tu máte $a^2x^2-c^2= -bax^3+bcx^2$. Ak to upravíte, nemali by ste dostať $(a^2-bc)x^2=-bax^3+c^2$. T.j. nemalo by na pravej strane byť $+c^2$ namiesto $-c^2$?

Potom buď $$a^2-bc = 2ab + c^2 = 0$$, alebo je $x^2$ racionálne číslo.
...
Potom pretože $a^2 = bc$, $c^2 = 2ab$

Z $2ab + c^2 = 0$ by ste dostali $c^2 = -2ab$. (Ale tento problém zrejme nebude po oprave znamienka, ktorú som spomenul vyššie.

[janetatomas]

Ďakujem za opravu.
Potom rovnica s opraveným znamienkom vyzerá nasledovne :
$$(a^2-bc)x = c^2 - 2ab$$.
Potom buď $x^2$ je racionálne číslo (spor), alebo platí $$a^2 - bc = c^2-2ab = 0$$.
Nech plati druhá možnosť. Potom $a^2 = bc$,$c^2 = 2ab$. Keďže $a^2$ je kladné b,c majú rovnaké znamienka. Keďže aj $c^2$ je kladné, aj čísla a a b maju rovnaké znamienka.
Teda všetky tri čísla a,b,c maju rovnaké znamienka (a sú nenulové).
Ale potom ak sú a,b,c kladné, aj výraz $$ax + bx^2 +c$$ je kladný (vyskytujú sa v ňom iba kladné členy), ak sú záporné, je záporný, a teda sa nemôže rovnať $0$.

[Martin Sleziak]

Takéto riešenie vyzerá vcelku zaujímavo, nenašiel som v ňom chybu. Značím si 1 bod.

Nech robím reklamu na Algebru 2, tak spomeniem že keď sa naučím niečo o minimálnych polynómoch, tak takáto vec vyjde vlastne zadarmo. (Konkrétne budeme vidieť, že minimálny polynóm čísla $\alpha=\sqrt[3]2$ má stupeň 3. Čo odporuje tomu, že by platilo $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ pre nejakú trojicu $(a,b,c)\ne(0,0,0)$, lebo v takom prípade by $\alpha$ bolo koreňom polynómu $ax^2+bx+c$, ktorý má stupeň dva.)

Ešte pridám takúto linku Proving that $\sqrt[3] {2} ,\sqrt[3] {4},1$ are linearly independent over rationals.
Môžete sa pozrieť napríklad na riešenie úlohy 3.3.2f tu, kde sa dokazuje viac-menej to isté, iba pre $\sqrt[3]5$ namiesto $\sqrt[3]2$.