Úloha 8.1 - obraz l.z. vektorov je l.z.

[FilipJurcak]

Úloha: Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.

Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, potom ex. $c_1, c_2, c_3, \ldots , c_n \in F$ také, že nie všetky sú nulové a platí rovnosť
$$c_1\vec\alpha_1 + c_2\vec\alpha_2 + \ldots + c_n\vec\alpha_n = \vec0 \; \; \; \; \; (1)$$
Keďže $f$ je lineárne zobrazenie, platí preň nasledovné:
$\forall \vec\beta, \vec\gamma \in V, \forall c \in F$ platí:
(i) $f(\vec\beta + \vec\gamma) = f(\vec\beta) + f(\vec\gamma)$,
(ii) $f(c\vec\beta) = c.f(\vec\beta)$
Zobrazme teda rovnicu $(1)$ zobrazením $f$, dostávame
$$f(c_1\vec\alpha_1 + c_2\vec\alpha_2 + \ldots + c_n\vec\alpha_n) = f(\vec0)$$
z toho (z definície lineárneho zobrazenia použitím (n - 1)-krát vlastnosti (i))
$$f(c_1\vec\alpha_1) + f(c_2\vec\alpha_2) + \ldots + f(c_n\vec\alpha_n) = f(\vec0)$$
a z toho (znovu z definície lineárneho zobrazenia použitím vlastnosti (ii))
$$c_1f(\vec\alpha_1) + c_2f(\vec\alpha_2) + \ldots + c_nf(\vec\alpha_n) = f(\vec0) \; \; \; \; (2)$$
Podľa tvrdenia 5.3.6 vieme, že $f(\vec0) = \vec0$, teda rovnosť $(2)$ môžme prepísať ako
$$c_1f(\vec\alpha_1) + c_2f(\vec\alpha_2) + \ldots + c_nf(\vec\alpha_n) = \vec0$$
Aspoň jeden z koeficientov $c_1, c_2, \ldots , c_n$ je nenulový, teda $f(\vec\alpha_1), f(\vec\alpha_2), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé.

[Martin Sleziak]

Riešenie je o.k., značím si 1 bod.
Staršie riešenie tej istej úlohy: viewtopic.php?t=408