Úloha 8.4 - ekvivalentná podmienka k linearite

[FilipJurcak]

Úloha: Dokážte (iba použitím definície lineárneho zobrazenia), že zobrazenie $f\colon V\to W$ (kde $V$, $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ je lineárne práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$, $\vec\alpha,\vec\beta\in V$ platí $f(c\vec\alpha+\vec\beta)=cf(\vec\alpha)+f(\vec\beta)$.

Keďže dokazujeme ekvivalenciu, dokážeme postupne dve implikácie.

$\Rightarrow$
Keďže f je lineárne zobrazenie, platí že:
(i) $f(\vec\alpha + \vec\beta) = f(\vec\alpha) + f(\vec\beta)$
(ii) $f(c\vec\alpha) = cf(\vec\alpha)$

z toho vyplýva, že $f(c\vec\alpha + \vec\beta) \overset{(i)} = f(c\vec\alpha) + f(\vec\beta) \overset{(ii)} = cf(\vec\alpha) + f(\vec\beta)$, kde (i) a (ii) naznačujú ktoré vlasnosti z definície lineárneho zobrazenia sme použili, teda táto implikácia je dokázaná.

$\Leftarrow$
Musíme dokázať obe vlastnosti z definície lineárneho zobrazenia.
Vieme že $\forall c \in F, \vec\alpha, \vec\beta \in V$ platí
$$f(c\vec\alpha + \vec\beta) = cf(\vec\alpha) + f(\vec\beta) \; \; \; \; (1)$$
(i) vlastnosť dokážeme tak, že si za $c$ zoberieme 1 (rovnica (1) platí pre ľubovoľné $c$, teda aj pre $c = 1$, pričom 1 je neutrálny prvok vzhľadom na $\otimes$ v F), teda dostávame že $f(\vec\alpha + \vec\beta) = f(\vec\alpha) + f(\vec\beta)$.
(ii) vlastnosť dokážeme tak, že za $\vec\beta$ zvolíme $\vec0$ (to môžeme, pretože $V$ je vektorový priestor a ten musí obsahovať $\vec0$), z toho dostávame že $f(c\vec\alpha) = cf(\vec\alpha)$.

Obe vlastnosti sú teda dokázané a tým aj táto strana implikácie.

Obe implikácie sú dokázané a teda je dokázaná aj samotná ekvivalencia.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.