Úloha 8.2. Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:

[korman]

Zadanie: Vyjadriť pomocou základných symetrických polynómov:
a) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2$

b) $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3+x_2^3+x_3^3$

Riešenie:
a) Vidíme, že polynóm sa celkom podobá na $A_1$ teda na $(x_1 + x_2 + x_3)$. V našom $f$ však máme v exponente $2$. To vieme docieliť výrazom
$A_1^2$ teda $(x_1 + x_2 + x_3)^2$. Keď toto roznásobíme, dostaneme: $$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3)$$ Na to aby sme sa zbavili toho, čo je navyše, teda potrebujeme ešte nejak vyskladať: $$f(x_1,x_2,x_3) - A_1^2 = -2x_1x_2 + -2x_1x_3 + -2x_2x_3$$ Toto ale vidíme nie je nič iné ako $-2A_2 = -2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$. Výsledný symetrický polynóm vyjadrený v základných symetrických polynómoch teda je $$f(x_1,x_2,x_3) = A_1^2 - 2A_2$$

b) Mohli by sme v podstate zopakovať postup z podúlohy a). Fakt ale je, že iba $(x_1 + x_2 + x_3)^3$ je celkom veľa členov. Pokúsim sa teda vyriešiť úlohu pomocou metódy neurčitých koeficientov. Tento polynóm je stupňa 3. Symetrické polynómy, ktoré teda prichádzajú do úvahy a neprekračujú tento stupeň sú kombinácie: $A_1^3$, $A_1A_2$ a $A_3$.

Zapíšme teráz náš polynóm $f$ takto: $f(x_1,x_2,x_3) = A_1^3 + a\cdot A_1A_2 + b\cdot A_3$. Ako môžeme prísť na $a$ a $b$?
V podstate musíme tipnúť pekné hodnoty, aby nám niečo vypadlo.

Skúsim $x_1=x_2=1$, $x_3 = 0$. To $x_3$ som zvolil $0$ preto, aby bol aspoň člen $A_3=0$.
Keď dosadíme hodnoty, zistíme, že $f(1, 1, 0)=1^3+1^3+0^3 = 2$. Pričom $A_1^3 + a\cdot A_1A_2 + b\cdot A_3 = 2^3 + a \cdot 2\cdot 1 + b \cdot 0$. Dostali sme teda, že $2^3 + a \cdot 2\cdot 1 + b \cdot 0 = 2$ z čoho $$2a = -6$$ $$a = -3$$.

Máme teda: $$f(x_1,x_2,x_3) = A_1^3 - 3\cdot A_1A_2 + b\cdot A_3$$.
Dosadíme teraz $x_1=x_2=x_3=1$. Zdôvodniť to môžeme asi tak, že $1$ je malé číslo a v tomto prípade potrebujeme mať $x_3$ nenulové aby bolo rovnako nenulové aj $A_3$. Po dosadení dostaneme: $$f(x_1,x_2,x_3)=1^3+1^3+1^3 = 3 = A_1^3 - 3A_1A_2 + b\cdot A_3 = 3^3 - 3\cdot 3 \cdot 3 + b\cdot 1$$.

Z toho vidíme, že $b = 3$. Výsledkom teda je: $$f(x_1,x_2,x_3) = A_1^3 - 3A_1A_2 + 3A_3$$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je fajn, značím si 1 bod.

Fakt ale je, že iba $(x_1 + x_2 + x_3)^3$ je celkom veľa členov.

Je to zrátateľné aj takto (hlavne keď sa človek snaží rozumne to zapísať).
Dá sa spočítať, že
\begin{align*}
A_1^3 = (x_1+x_2+x_3)^3 &= x_1^3+x_2^3+x_3^3 + 3 \sum x_1^2x_2 + 6x_1x_2x_3\\
A_1A_2 = (x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) &= \sum x_1^2x_2+ 3x_1x_2x_3
\end{align*}
a z týchto rovností už vieme dostať hľadaný výsledok:
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3 = A_1^3 - 3 \sum x_1^2x_2 - 6A_3 = A_1^3 - 3 (A_1A_2-3A_3) - 6A_3 = A_1^3-3A_1A_2+3A_3.$$