Priestor všetkých matíc vs. podpriestor prislúchajúci matici

[Martin Sleziak]

Po prednáške som dostal otázku týkajúcu sa $M_{m,n}(F)$ a $V_A$, snáď ju až tak moc nezmením, keď ju sformulujem zhruba takto:

Otázka. Na dnešnej prednáške bolo niečo také, že dimenzia priestoru $M_{m,n}(F)$ je $mn$. Predtým sme mali niečo o tom, že dimenzia priestoru určeného nejakou maticou sa volá hodnosť matice a je to počet nenulových riadkov je redukované trojuholníkové tvaru. Neodporujú si tieto veci?

Stručná odpoveď je, že si to nijako neodporuje - lebo hovoríme o dvoch rôznych veciach. Ale skúsim sem k tomu napísať trochu detailnejší pokec - ak sú aj nejakí ďalší ľudia, čo majú podobný problém, tak im to možno pomôže.

Priestor $M_{m,n}(F)$
Ak sa pozrieme na matice rozmerov $m\times n$ (nad poľom $F$), tak ich vieme sčitovať a aj násobiť skalárom. Dostaneme tak vektorový priestor $(M_{m,n}(F),+,\cdot)$.
Na prednáške (aj v texte, ktorý je na webe) som sa snažil vysvetliť, že je to "to isté" ako priestor $F^{mn}$.
Mám nejakých $mn$ prvkov z $F$ zapísaných do nejakej tabuľky. Skalárny násobok aj sčitovanie sú definované po súradniciach. To, či píšem tento vektor do jedného riadku alebo do viacerých, nehrá žiadnu úlohu. (Prinajmenšom to nehrá úlohu vtedy, keď ma zaujímajú iba tieto dve operácie - čo je presne prípad, keď sa pozerám na vlastnosti vektorového priestoru.)

Ak to pomôže, môžete si skúsiť pre nejaké malé rozmery priamo napísať bázu tohoto priestoru a pozrieť sa na to, či skutočne vidno, že to je báza.

Spoiler:

Napríklad pre $m=2$, $n=3$, tieto matice tvoria bázu:
\begin{align*}
A_{11}&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
A_{12}&=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
A_{13}&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
A_{21}&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
A_{22}&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
A_{23}&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

Skutočne, ak mám ľubovoľnú maticu týchto rozmerov
$$A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix},
$$
tak sa dá dostať práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia matíc, ktoré sme vypísali vyššie. Konkrétne máme: $A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}$.

Priestor $V_A$
V súvislosti s maticami sme sa pozerali aj na podpriestor prislúchajúci nejakej matici $A$.
Ak máme maticu $A$ typu $m\times n$ nad poľom $F$, tak ako $V_A$ sme označili podpriestor, ktorý dostaneme ako lineárny obal riadkov matice.
Všimnime si, že $V_A$ je podpriestor priestoru $F^n$. (V každom riadku matice mám $n$ prvkov, teda riadky môžem chápať ako vektory patriace do $F^n$; t.j. usporiadané $n$-tice prvkov z $F$.)

Toto je celkom iná vec, ako sme spomínali vyššie.
Tam sme hovorili o jednom priestore, ktorý pozostával zo všetkých $m\times n$-matíc nad $F$.
Teraz máme pre každú maticu podpriestor $V_A$.

Pre niektoré matice môže vyjsť rovnaký. Napríklad $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ obe určujú podpriestor $[(1,0,0)]$.
Ale ľahko sa dajú nájsť príklady, kedy dve matice dajú iný podpriestor. Napríklad pre
$$A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\qquad\text{a}\qquad
B=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
máme $V_A=[(1,0,0)]$, $V_B=[(0,1,0),(0,0,1)]$. V tomto prípade očividne platí $V_A\ne V_B$.