V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Ak by ste sa chceli z nejakých dôvodov pozrieť čo sa stihlo prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=1209
viewtopic.php?t=837
viewtopic.php?t=413
Prednášky LS 2019/20
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican, Ludovit_Balko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
1. prednáška (20.2):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Vlastne je to zhruba časť 2.1 a 2.2 z v poznámkach k prednáške. Jediné, čo som tam vynechal je príklad 2.1.4 a definícia 2.1.5 - tu sa definuje súčin grúp, takéto niečo budete vidieť na cvičení. Takisto som nespomenul ani lemu 2.2.11, ktorá je tiež dosť jednoduchá na to, aby zostala ako cvičenie. (Vlastne sa tam hovorí o tom, že podgrupa podgrupy je opäť podgrupa a o podobných vlastnostiach.)
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Vlastne je to zhruba časť 2.1 a 2.2 z v poznámkach k prednáške. Jediné, čo som tam vynechal je príklad 2.1.4 a definícia 2.1.5 - tu sa definuje súčin grúp, takéto niečo budete vidieť na cvičení. Takisto som nespomenul ani lemu 2.2.11, ktorá je tiež dosť jednoduchá na to, aby zostala ako cvičenie. (Vlastne sa tam hovorí o tom, že podgrupa podgrupy je opäť podgrupa a o podobných vlastnostiach.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
2. prednáška (27.2):
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky. Príklady homomorfizmov.
izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Túto linku som vám už párkrát v nejakých postoch spomenul. Ale keďže znovu prišla reč na pojem izomorfizmu, pridám ju ešte raz: viewtopic.php?t=495
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti. (Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou). Rád prvku: Definícia, príklady. Izomorfizmus zachováva rád prvku.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu.
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky. Príklady homomorfizmov.
izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Túto linku som vám už párkrát v nejakých postoch spomenul. Ale keďže znovu prišla reč na pojem izomorfizmu, pridám ju ešte raz: viewtopic.php?t=495
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti. (Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou). Rád prvku: Definícia, príklady. Izomorfizmus zachováva rád prvku.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
3. prednáška (5.3):
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Pri týchto dvoch výsledkoch som preskočil dôkaz. Nebudem ho ani skúšať. Takisto som preskočil vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická.)
Permutácie.
Definícia cyklu. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. (Dôkaz som nerobil detailne - skôr som iba naznačil algoritmus ktorým rozklad dostaneme a "nakreslil" prečo funguje.)
Rád permutácie.
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Pri týchto dvoch výsledkoch som preskočil dôkaz. Nebudem ho ani skúšať. Takisto som preskočil vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická.)
Permutácie.
Definícia cyklu. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. (Dôkaz som nerobil detailne - skôr som iba naznačil algoritmus ktorým rozklad dostaneme a "nakreslil" prečo funguje.)
Rád permutácie.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
Keďže je prerušená prezenčná výuka, tak momentálne prednášky nebežia štandardným spôsobom.
Snažím sa namiesto toho aspoň dávať videá s prednáškami na web a do značnej miery sa spolieham aj na to, že si nejaké veci naštudujete samostatne z materiálov, ktoré sú na stránke predmetu.
Relevantné info:
viewtopic.php?t=1506
viewtopic.php?t=1505
viewtopic.php?t=1521
Snažím sa namiesto toho aspoň dávať videá s prednáškami na web a do značnej miery sa spolieham aj na to, že si nejaké veci naštudujete samostatne z materiálov, ktoré sú na stránke predmetu.
Relevantné info:
viewtopic.php?t=1506
viewtopic.php?t=1505
viewtopic.php?t=1521