Úloha 2.3.3

[MatejStubniak]

Z Vety 2.3.5 vyplýva, že daná matica $A$ je kladne definitná. Potom na základe Vety 2.3.3 vieme, že existuje regulárna matica $P = \|p_{ij}\|$ taká, že $A = PP^T$. Prvok $a_{nn}$ teda môžeme vyjadriť ako $\sum_{i=1}^{n} p_{ni}^2$, čo znamená, že $a_{nn} \ge 0$. Ostáva nám dokázať, že $a_{nn} \ne 0$.
Sporom, nech $a_{nn} = 0$. Potom nutne $p_{ni} = 0$ pre všetky $i \in \{1,...,n\}$ (teda posledný riadok matice P je nulový). To je však spor s regulárnosťou matice $P$.