Priklady na precvicenie

[Jana Stolcova]

$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Ahojte, posielam zase nejaké príklady na precvičenie, postupne budem pridávať nové veci.


1. Nájdite minimálny polynóm a Jordanov normálny tvar nasledujúcich matíc:

$A = \left( \begin{array}{ccc}4 &-5 & 2 \\ 5 & -7 &3 \\ 6 & -9 & 4 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 &-1\\ 0 &1 &4&-2 \\ 2 &-1 & 0& 1\\ 2 &-1 &-1& 2\end{array} \right)$

$C=\left( \begin{array}{cccc} 3 & -1 & 1 &-7\\ 9 &-3 &-7&-1 \\ 0 &0 & 4& -8\\0 &0 &2& -4\end{array} \right)$

2. Kvadratické formy prevedte na kanonický tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných:
a) $2x^2 +3y^2 + 4z^2 - 2xy + 4xz - 3yz$

b) $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_1$

c) $ 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_3^2 - 2x_1 x_2 + 4x_1 x_3 - 3x_2 x_3$

3. Pre aké hodnoty parametra $a$ je kvadratická forma kladne definitná?
a)$ 2x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2+ 2ax_1x_2 + 2x_1x_3$
b) $x_1^2 + x_2^2+ 5x_3^2 + 2ax_1x_2 - 2x_1x_3 + 4x_2x_3$
c) $x_1^2+ 4x_2^2 + x_3^2 + 2ax_1x_2 + 10x_1x_3 + 6x_2x_3$
d)$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_3- 2x_2x_3) + t(6x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_1^2)+t^2(x_1^2+x_2^2)$

4. Nájdite diagonálnu maticu $D$ a ortogonálnu maticu $P$, tak aby $A=PDP^T$, alebo ukážte že taká neexistuje ak
$A = \left( \begin{array}{cccc}
2&2&1&-1\\
2&2&-1&1\\
1&-1&2&2\\
-1&1&2&2
\end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc}
7&-12&6\\
10&-19&10\\
1ľ&-24&13\\
\end{array} \right)$

5. Zistite, akú krivku vyjadruje rovnica, nájdite jej strad a nakreslite ju v súradnicovej sústave:

a) $17 x^2 + 12 x y + 8 y^ 2 - 46 x - 28 y + 17 = 0 $
b)$ x^ 2 - 2 x y + y ^2 + 2 x + 2 y + 10 = 0 $
c)$x^ 2 - 4 x y + y ^2 - 2 x + 1 = 0$