Poznámky k veciam z konzultácií

[Martin Sleziak]

Ak niekedy budem mať niečo, čo sa mi bude zdať rozumné ešte doplniť k veciam z konzultácií, tak budem písať do tohoto vlákna.
Teraz len pripomeniem, že veci ktoré som písal na Whiteboard sú v súboroch, ktoré sú v chate.
A zosumarizujem, o akých veciach sme dnes hovorili.

• Ak $f$ má práve jedno pravé inverzné, tak $f$ je bijekcia.
• Zobrazenie $f\colon G\to G$ definované ako $f(x)=x^{-1}$ je bijekcia. (úloha 3.2.12)
• $F=\{a+b\sqrt[3]{5}; a,b\in\mathbb Q\}$ nie je pole (úloha 3.3.2i)
• $(m+n)\times a=m\times a+n\times a$ (úloha 3.3.5a)
• Overenie, že máme po vynechaní nuly binárnu operáciu pre príklad z predošlej domácej: viewtopic.php?t=341
• Ako overovať asociatívnosť, ak je operácia zadaná tabuľkou?
• Niečo k dôkazu, že $\mathbb Z_p$ je pole ak $p$ je prvočíslo.
• Ako vyzerá vektorový priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$.

[Martin Sleziak]

To čo sme písali na konzultáciách tento pondelok sa dá nájsť v chate k meetingu alebo aj tu: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201026.zip
Sú to súbory svg aj png exportované z Whiteboardu.

[Martin Sleziak]

V stredu sme na konzultáciách prešli príklady z písomky. To čo som písal na "tabuľu" je tu: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201028.zip

[Martin Sleziak]

Dnes sme sa pozreli na d.ú.7 - k tomu nájdete linku vo vlákne s komentármi k d.ú.
Okrem toho sme sa pozreli na nejaké príklady týkajúce sa súčtu podpriestorov, hlavne na úlohy 4.5.1 a 4.5.4.
Nejaké linky na fóre týkajúce sa tejto témy: viewtopic.php?t=816 a viewtopic.php?t=1202
(Spomenul som aj to, že keď sa naučíme niečo viac o sústavách lineárnych rovníc, tak budeme vidieť aj jednoduchší spôsob ako hľadať pre dva podpriestory ich prienik a jeho dimenziu resp. bázu.)
A posledné sa týkalo vzťahu medzi vektorovými priestormi $M_{2,2}(\mathbb R)$ a $\mathbb R^4$ (resp. $M_{m,n}(F)$ a $F^{mn}$. (Úloha 5.2.3, veta 5.1.5.)
Veci, ktoré som písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201117.zip

[Martin Sleziak]

Pozreli sme sa na úlohu 5.2.5, kde bolo pre zadané vektory treba zistiť, či platí $[\vec\beta_1,\vec\beta_2]\subseteq[\vec\gamma_1,\vec\gamma_2,\vec\gamma_3]$.
Okrem toho sme sa pozreli na d.ú. 8 - zistenie či dané vektory sú závislé/nezávislé - k tomu nájdete linku vo vlákne s komentármi k d.ú.
Tu sú veci, ktoré sme popritom napísali: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201124.zip

[Martin Sleziak]

Na včerajších konzultáciách s doc. Guričanom bola reč aj o hodnosti s parametrom. Zopár úloh na nájdenie hodnosti matice v závislosti od parametra sa dá pozrieť vyriešených na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
Viacero vecí, o ktorých sme hovorili dnes, má nejaký prekryv s tým čo bolo na včerajších konzultáciách.

V súvislosti s úlohami zo súborov, ktoré sú tu http://thales.doa.fmph.uniba.sk/katc/pa ... en=gurican spomeniem, že tie sú z knihy Algebra a teoretická aritmetika 1 (Katriňák a kol.)
Tam, kde treba, sú zadania upravené tak, že sa použije poradie skladaní, aké sa používa na tejto prednáške. (V knihe ATA je poradie skladania zobrazení opačné.)

Dnes sme sa rozprávali o riešení maticovej sústavy tvaru $XA=B$ - úloha 2.10.6a z ATA- Po transponovaní sa dostaneme k tomu, že to je vlastne hľadanie matice zobrazenia. Takáto úloha - len s opačným poradím - je vyriešená napríklad tu: viewtopic.php?t=812

Úloha 2.10.9 z ATA (ktoré z daných priestorov sú izomorfné?) S vedomosťami ktoré máme teraz už vieme, že vlastne stačí iba porovnať dimenzie.

Pozerali sme sa aj na nejaké úlohy s vektorovými priestormi polynómov. Tam často využívame, že polynóm sa rovná nule p.v.k. všetky koeficienty sú nulové (resp. že nenulový polynóm má najviac toľko koreňov, koľko je jeho stupeň): viewtopic.php?t=1349

Úloha 4.4.7 z textu: Koľkými spôsobmi sa dané vektory dajú doplniť na bázu?

Ukázali sme, že riadkový priestor súčinu $AB$ je podmnožina riadkového priestoru $B$. To súvisí aj s nerovnosťou $h(AB)\le h(B)$.
Niečo k tým nerovnostiam pre $h(AB)$ sa dá nájsť aj na fóre (je to v časti k inému predmetu): viewtopic.php?t=828 a viewtopic.php?t=1416

Úloha 4.5.2: Násjť k danému podpriestoru ďalší podpriestor tak, aby $S\oplus T=V$. (Ale explicitne bolo povedané, že súčty podpriestorov na tejto písomke nebudú.)

Niečo k úlohám 2.8.1c a 2.8.1d z ATA - ide o zobrazenie určené ako osová symetria. (Ak os prechádza nulou, tak je to lineárne zobrazenie.)


Tu je linka na Whiteboard a na stránku som tiež dal veci, ktoré som počas konzultácií písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201212.zip
Linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/e ... a92349863d
Včerajšie konzultácie (2BIN): https://web.microsoftstream.com/video/b ... cae57748be

[Martin Sleziak]

Najprv sme sa pozreli na hľadanie inverzných prvkov v $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ - a na to ako sa tam dajú použiť determinanty.
Tento príklad sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=349
(Našli sme pri tom aj nejaké chyby/preklepy. Úloha nájsť inverzný prvok je asi ťažšia ako to, čo sa od vás čaká na skúške - v texte je skôr ukážka použitia Cramerovho pravidla.)

V súvislosti s týmto prikladom sme sa pozreli aj na to, že rozklad $u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-uw-vw)$ sa dá nájsť aj s využitím takéhoto determinantu: $$\begin{vmatrix}u&v&w\\w&u&v\\v&w&u\end{vmatrix}=u^3+v^3+w^3-3uvw$$
Pridám aj takúto linku: Factorize the polynomial $x^3+y^3+z^3-3xyz$

Keďže sme používali Cramerovo pravidlo, tak sme si ukázali aj nejaký jeho dôkaz - trochu iný ako je v texte, takýto dôkaz sa dá pozrieť napríklad tu: viewtopic.php?p=4270#p4270 resp. viewtopic.php?t=1402

Pýtali ste sa na vetu o $|A|+|B|=|C|$ (veta 6.3.8) resp. na jej použitie/význam. Spomenul som, ako sa to dá interpretovať geometricky a tiež, že sme to využili napríklad v dôkaze niektorých vecí o ERO a determinantoch.

Trochu sme sa rozprávali o tom, kedy je lepšie použiť ERO a kedy Laplaceov rozvoj. (Pozreli sme sa na to, koľko operácií treba pri týchto postupoch urobiť.)

Pozreli sme sa na nájdenie bázy priestoru riešení - konkrétne na to, ako sme dostali bázu vo vete 5.7.4, t.j. ako sa z rovnosti (5.3) dostane báza tvaru (5.4).

Pozreli sme sa na úlohu 4.5.4 (dimenzia prieniku a súčtu podpriestorov zadaných lineárnymi rovnicami).

Tu sú veci, ktoré som písal počas konzultácií: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20210102.zip

Kúsok konzultácií sme aj nahrali - ale ani nie preto, že by tam bolo niečo extrémne dôležité. Bolo to skôr ako test - keďže ste sa sťažovali, že dnes to trochu sekalo, tak som chcel mať možnosť pozrieť si video a počuť/vidieť ako to vyzeralo na vašej strane.