Cvičenia ZS 2020/21 1INF2

[Martin Sleziak]

9. cvičenie (25.11.)
Lineárne zobrazenia. Zobrazenie $f\colon V\to W$ je lineárne p.v.k. $f(c\vec\alpha+\vec\beta)=cf(\vec\alpha)+f(\vec\beta)$ platí pre všetky $c\in F$, $\vec\alpha,\vec\beta\in V$ (=úloha 5.3.2). Vlastne to je ešte jedna ekvivalentná charakterizácia lineárnych zobrazení - ktorú vieme použiť aj pri zdôvodnení, že postup cez riadkové úpravy funguje na nájdenie matice zobrazenia.

Súčin matíc. Pozreli sme sa na úlohy 5.4.2 a 5.4.3. (Pri druhej z nich sme si povedali niečo o súvise medzi súčinom matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak počítam súčin $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.)

Inverzná matica. Pozreli sme sa na výpočet inverznej matice (čo je vlastne výpočet matice inverzného zobrazenia). Vyrátali sme jednu inverznú maticu z úlohy 5.5.1. Pri výpočte inverznej matice sme si ukázali, že tu sa dá urobiť skúška správnosti aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531
Ešte sme sa pozreli aj ako sa dá na postup pri výpočte inverznej matice pozrieť vďaka tomu, že už vieme o vzťahu medzi elementárnymi riadkovými operáciami a násobením maticou prislúchajúcou danej operácii zľava - v podstate sme si povedali zhruba to, čo je v poznámke 5.6.6 v texte k prednáške.

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201125.zip
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/1 ... b90999b949

[Martin Sleziak]

10. cvičenie (25.11.)
Riadková ekvivalencia a násobenie matíc.
Ukázali sme si, že dve matice $A$, $B$ (rovnakých rozmerov) sú riadkove ekvivalentné práve vtedy, keď $B=RA$ pre nejakú regulárnu maticu $R$ (úloha 5.6.1*)
Popritom sem sa pozreli na to, že ak $B=CA$, tak $V_B\subseteq V_A$. (To je časť úlohy 5.4.6.)

Súčty podpriestorov. (Toto niektorí z vás už pretým videli na konzultáciách).
Zopakoval som základné veci týkajúce sa súčty podpriestorov. Pozreli sme sa na úlohu ako vypočítať pre zadané priestoru dimenziu a bázu ich súčtu a prieniku - úloha 4.5.1a,b,d.
Nejaké linky na fóre týkajúce sa tejto témy: viewtopic.php?t=816 a viewtopic.php?t=1202
(Spomenul som aj to, že keď sa naučíme niečo viac o sústavách lineárnych rovníc, tak budeme vidieť aj jednoduchší spôsob ako hľadať pre dva podpriestory ich prienik a jeho dimenziu resp. bázu.)

Budúce cvičenie je posledné pred písomkou - ak budete mať nachystané nejaké veci, ku ktorým sa treba vrátiť, tak sa na ne môžeme pozrieť. Ak nie, tak budeme pokračovať nejakými príkladmi k tomu, čo bude na pondelkovej prednáške.

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201202.zip
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/a ... d24f809278

[Martin Sleziak]

11. cvičenie: (9.12.)

Sústavy rovníc.
V podstate sme prešli to čo je v texte vysvetlené v príkladoch 5.7.12 a 5.7.13.)
Pozreli sme sa aj na viaceré sústavy z úlohy 5.7.4 - konkrétne na to, ako z RTM vyčítam riešenia.
Pritom sme sa trochu porozprávali aj o tom, ako sa dá robiť skúška správnosti: viewtopic.php?t=522

Pre daný podpriestor nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je presne tento podpriestor (úloha 5.7.7). Úloha takéhoto typu je vyriešená aj tu: viewtopic.php?t=1482
Trochu sme sa pozreli na geometrickú inutíciu súvisiacu so vzťahom $d(S)=n-h(A)$. (Vždy keď pridám novú rovinu, klesne dimenzia o 1.)
Ak vieme k podpriestoru nájsť sústavu, tak to sa dá využiť na nájdenie prieniku podpriestorov. Tu sme si povedali iba postup a nepočítali žiadny príklad - nejaký takýto príklad máte vyriešené na fóre: viewtopic.php?t=816

Lineárne zobrazenia.
Úloha 5.5.5: Nájsť počet všetkých/injektívnych/surjektívnych lineárnych zobrazení, ak máme zadané obrazy nejakých vektorov.

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201209.zip
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/9 ... e268b9dc3d

[Martin Sleziak]

Nepovinné cvičenie (16.12.)
Síce dnes nebolo povinné cviko - iba konzultácie - ale dám to do tohoto istého topicu, nech to je pokope.

Determinanty

Ako vypočítam determinant $2\times2$, $3\times 3$.
Niečo o geometrickom význame determinantu: viewtopic.php?t=1621 a viewtopic.php?t=555
Ako sa mení determinant pri riadkových úpravách
Príklad výpočtu pomocou riadkových riadkových úprav (prípadne v kombinácii so stĺpcovými úpravami alebo s Laplaceovým rozvojom)
Pritom sme zbadali, že v texte je pri úlohe 6.5.2 napísaný pri druhej matici nesprávny výsledok, má tam byť $-8$.
Povedali sme si niečo o Laplaceovom rozvoji.
Úloha 6.5.9 - výpočet determinantu $n\times n$ (rekurzívne). Tento príklad je vyriešený aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... iesdet.pdf

Veci čo som počas cvičenia písal: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/20201216.zip
Video z cvičenia: https://web.microsoftstream.com/video/7 ... 098e98c23f