Sústavy

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Sun Nov 15, 2015 6:48 pm

Skupina A

Nájdite všetky riešenia sústavy nad poľom $\mathbb R$ určenej danou maticou (a napíšte, ako presne vyzerá množina riešení):
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 0 &-2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 2 & 2
\end{array}\right)$$

Skupina B

Nájdite všetky riešenia sústavy nad poľom $\mathbb R$ určenej danou maticou (a napíšte, ako presne vyzerá množina riešení):
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 1 &-1 & 2 \\
2 &-1 & 3 & 1 & 1
\end{array}\right)$$

Riešenie: Môžeme maticu upraviť na redukovaný stupňovitý tvar a stĺpce, v ktorých nie sú vedúce jednotky, nám určia premenné, ktoré môžeme zvoliť za parametre. (Dokonca to nemusí byť nutne priamo redukovaný stupňovitý tvar. Úplne nám stačí, ak v ňom máme v každom nenulovom riadku takú jednotky, že ostatné prvky v jej stĺpci sú nulové.)

Skupina A:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 0 &-2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 0 &-2 & 1 & 3 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
3 & 0 &-2 & 1 & 3 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-5 & 0 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-3 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-5 & 0 \\
\end{array}\right)$

Vidíme, že môžeme ako parameter voliť $x_4=t$. Ak dopočítame ostatné premenné, dostaneme $x_1=1+3t$, $x_2=1-5t$, $x_3=5t$. Teda množina riešení je:
$$\{(1+3t,1-5t,5t,t); t\in\mathbb R\}$$

Skupina B:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 1 &-1 & 2 \\
2 &-1 & 3 & 1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 1 &-1 & 2 \\
2 &-1 & 3 & 1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 1 &-1 & 2 \\
0 &-1 & 5 &-5 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 3 & 1 \\
0 & 0 &11 &-11& 0 \\
0 &-1 & 5 &-5 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 0 \\
0 &-1 & 5 &-5 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 3 & 1 \\
0 &-1 & 5 &-5 &-1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 3 & 1 \\
0 &-1 & 0 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-1 & 0
\end{array}\right)$

Môžeme napríklad zvoliť parameter $x_4=t$ a dorátať ostatné premenné: $x_1=1-2t$, $x_2=1$, $x_3=t$. Množina riešení je teda
$$\{(1-2t,1,t,t); t\in\mathbb R\}$$

Komentár k riešeniam

Ak sa vám podarí dostať k výsledku, tak je rozumné urobiť skúšku správnosti.
O tom ako sa robí skúška pre sústavy sme sa rozprávali: viewtopic.php?f=29&t=522
Budúci týždeň si porozprávame niečo aj o skúške pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?f=29&t=531

Zápis množiny riešení
Napríklad zápisy ako
$M=\{1+3t,1-5t,5t,t\}$
$M=\{(1+3t,1-5t,5t,t)\}$
$M=\{1+3t,1-5t,5t,t\in\mathbb R\}$
sú nesprávne.
V prvom prípade to čo ste napísali ani nie je množina usporiadaných štvoríc. V druhom prípade nie je jasné, čo je $t$. Tretí je úplne nejasný.

Počet parametrov

Prekvapilo ma, že pomerne veľa z vás (až 4 ľudia z dvanástich) zapísalo riešenie, v ktorom ste mali dva parametre namiesto jedného.
Jedna vec, ktorá by mohla pomôcť vyhnúť sa takejto chybe, by bola doupravovať maticu až na redukovaný tvar. Ale aj keď nemáte redukovaný tvar, nie je ťažké si zapamätať, že počet parametrov je rovnaký, ako počet stĺpcov, kde nebudú po úprave vedúce jednotky; čo je to isté ako počet neznámych mínus hodnosť matice $=n-h(A)$. (O niečom takomto ešte bude detailnejšie reč v kapitole 5, ale asi si to môžeme uvedomiť už teraz.)

Jedno z tých riešení sem odpíšem a pokúsim sa vysvetliť, v čom presne je problém. Snáď ostatní, ktorí mali tiež v riešení parametre navyše, si to budú schopní porovnať so svojím riešením.

Najprv ste upravovali maticu sústavy:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 0 &-2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 2 & 2
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
5 & 3 & 0 & 0 & 8 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-5 & 0 \\
\end{array}\right)$
Potiaľto sú úpravy úplne správne.
Tu ste napísali, že zvolíte ako parametre $x_2=t$, $x_4=s$. (Teda z týchto vecí chcete dopočítať ostatné premenné.)
Najprv ste použili prvú rovnicu z~poslednej matice:
$$
\begin{align*}
5x_1+3x_2&=8\\
5x_1+3t&=8\\
x_1&=\frac{8-3t}5
\end{align*}
$$
Potom ste použili druhú rovnicu z~tejto matice:
$$
\begin{align*}
x_2+x_3&=1\\
t+x_3&=1\\
x_3&=1-t
\end{align*}
$$
A potom ste zapísali ako množinu riešení
$$M=\{(\frac{8-3t}5,t,1-t,s); s,t\in\mathbb R\}.$$
Že to je nesprávny výsledok sa môžete presvedčiť, ak si urobíte skúšku správnosti.
Ja skúsim zvoliť nejaké čísla, s ktorými sa mi bude dobre počítať, napríklad pre $s=t=1$ dostaneme štvoricu $(1,1,0,1)$.
Napríklad po dosadení do tretej rovnice pôvodnej sústavy vidíme, že skúška nevyjde: $1\cdot1+1\cdot 1 + 2\cdot1=4\ne2$.
(Samozrejme, pre niektoré hodnoty skúška bude sedieť; vyskúšajte napríklad $s=t=0$.)

Vec, ktorá by vám mala byť podozrivá aj ak ste nerobili skúšku, je to, že ste nikde nepoužili tretiu rovnicu.
Ak budeme pokračovať s výsledkami, ktoré ste zatiaľ dostali a použijeme aj poslednú rovnicu $x_3-5x_4=0$, tak dostaneme
$$
\begin{align*}
x_3-5x_4&=0\\
1-t-5s&=0
\frac{1-t}5&=s
\end{align*}
$$
Takto sme sa dopracovali k výsledku
$$M=\{(\frac{8-3t}5,t,1-t,\frac{1-t}5); s,t\in\mathbb R\}.$$
Toto je už správne riešenie.

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Tue Nov 28, 2017 11:41 am

Drobná výhrada k označeniu:
Niektorí ste písali riešenie v takomto tvare (napríklad zo skupiny A):
$$\{1+3x_4,1-5x_4,5x_4,x_4; x_4\in\mathbb R\}.$$
Síce je mi jasné čo sa tým chce povedať. Ale formálne je tento zápis nesprávny. Množina riešení je množina usporiadaných štvoríc, takže by sme ju mali zapísať takto:
$$\{(1+3x_4,1-5x_4,5x_4,x_4); x_4\in\mathbb R\}.$$
(Na tejto prednáške sme sa dohodli, že usporiadané štvorice píšeme v okrúhlych zátvorkách. Nemal by som veľké výhrady ani proti iným zápisom, ak ste zvyknutí štvorice označovať inak - možno niekto z vás je zvyknutý na označenie $[1+3x_4,1-5x_4,5x_4,x_4]$ alebo $\langle 1+3x_4,1-5x_4,5x_4,x_4 \rangle$. Aj tak je určite lepšie dodržiavať na písomkách z tohoto predmetu konvenciu dohodnutú na tomto predmete - moja hlavná výhrada je však tá že ten prvý zápis nie je množina usporiadaných štvoríc. Inak povedané, je to podmnožina $\mathbb R$, hoci odpoveďou má byť nejaká podmnožina $\mathbb R^4$.)

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Thu Nov 29, 2018 10:26 am

Zadanie a riešenie

Skupina A

Nájdite všetky riešenia sústavy nad poľom $\mathbb R$ určenej danou maticou (a napíšte ako vyzerá množina riešení):
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 &-1 & 2 \\
1 & 2 &-2 &-1 & 3 \\
1 &-1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

Riadkovými úpravami môžeme dostať maticu sústavy na jednoduchší tvar:
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 &-1 & 2 \\
1 & 2 &-2 &-1 & 3 \\
1 &-1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 &-1
\end{array}\right)
$$
Tu je aj celý výpočet:

Spoiler:

Z toho už vieme vyčítať množinu riešení. Ak si vezmeme štvrtú neznámu ako parameter, t.j. $x_4=t$, tak vlastne máme rovnice
\begin{align*}
x_1-t&=0\\
x_2-t&=1\\
x_3-t&=-1
\end{align*}
z čoho vieme vyjadriť ostatné premenné:
Množina všetkých riešení je teda.
$$M=\{(1+t,t,-1+t,t); t\in\mathbb R\}.$$

Skupina B

Nájdite všetky riešenia sústavy nad poľom $\mathbb R$ určenej danou maticou (a napíšte ako vyzerá množina riešení):
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 &-1 &-2 & 2 \\
1 & 0 & 1 &-2 & 0 \\
1 & 1 &-2 & 0 & 3
\end{array}\right)
$$

Riadkovými úpravami sa dostaneme k tej istej matici ako v skupine A - teda aj množina riešení je rovnaká:
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 &-1 &-2 & 2 \\
1 & 0 & 1 &-2 & 0 \\
1 & 1 &-2 & 0 & 3
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 &-1
\end{array}\right)
$$
Ak si niekto chce pozrieť jednu z možností pre úpravy:

Spoiler:

Chyby, ktoré sa vyskytli
Pripomeniem, že pri sústavách sa dá robiť skúška (a takisto skúška môže pomôcť nájsť kde ste spravili chybu, ak to vyskúšate pre niektoré medzivýsledky): viewtopic.php?t=522

Niektorí ste napísali odpoveď, kde bolo jediné riešenie. Zo skúseností, ktoré už máte s riešením sústav, by ste mohli mať odskúšané že ak je viac premenných ako rovníc, tak tam bude nejaký parameter (resp. druhá možnosť je, že nie je žiadne riešenie). Neskôr takéto niečo dokážete na prednáške aj poriadnejšie - rigorózne je takýto výsledok sformulovaný v knihe v časti o Fredholmovej alternatíve. (Kto si už prečítal pár mojich postov na fóre, tak asi očakáva že pridám aj linku na článok na Wikipédii: Fredholm alternative. Aj keď v tomto prípade zistíte, že článok na WP sa zaoberá Fredholmovou alternatívou v iných kontextoch a to, čo si vy poviete o sústavách, je tam sformulované inak - cez jadro lineárneho zobrazenia.)

Množina riešení by mala byť nejaká množina usporiadaných štvoríc. Teda ak ste namiesto $\{(1+t,t,-1+t,t); t\in\mathbb R\}$ napísali niečo ako $\{1+t,t,-1+t,t\}$, tak mi síce je jasné čo ste chceli povedať, ale je to nesprávny zápis. (Toto je podobné na to, čo spomínam v predošlom poste.)

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Thu Nov 26, 2020 5:41 pm

K sústavám asi máte dosť veľa prepočítaných príkladov, sem napíšem len k tým úlohám, kde sa v odovzdaných riešeniach vyskytli nejaké problémy, takže som chcel ukázať kompletné riešenie.

Opäť pripomeniem, že na fóre máte niečo k skúške pre sústavy: viewtopic.php?t=522
Aj aj k skúške pre úpravu na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531

Skupina A:

Nájdite všetky riešenia sústavy nad poľom $\mathbb R$ určenej zadanou maticou (a napíšte ako presne vyzerá množina riešení).
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 3 & 4 & 0 \\
1 &-1 &-1 & 2 & 2 \\
3 &-2 &-1 & 7 & 5 \\
\end{array}\right)
$$

Maticu sústavy si upravíme na redukovaný stupňovitý tvar (alebo aspoň stupňovitý tvar).

Spoiler:

Dostali sme
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right).$$
To zodpovedá sústave
\begin{align*}
x_1+x_3+3x_4&=1\\
x_2+2x_3+x_4&=-1
\end{align*}

Ak som sa dopracoval k niečomu takémuto tak si môžem uvedomiť, že ak si zvolím ľubovoľne premenné zodpovedajúce tým stĺpcom, kde nemám vedúce jednotky, tak ostatné premenné z toho viem dopočítať.
T.j. za parametre sa vždy dajú voliť tie premenné, pre ktoré nemám vedúcu jednotku.
V našom prípade všetky riešenia vyzerajú tak, že $x_3,x_4\in\mathbb R$ sú ľubovoľné a
\begin{align*}
x_1&=1-x_3-3x_4\\
x_2&=-1-2x_3-x_4
\end{align*}
T.j. množina riešení je $$R(S)=\{(1-x_3-3x_4,-1-2x_3-x_4,x_3,x_4); x_3,x_4\in\mathbb R\}=\{(1-s-3t,-1-2s-t,s,t); x_3,x_4\in\mathbb R\}.$$

Skúšku môžem urobiť tak, že dosadím priamo $x_1=1-s-3t$, $x_2=-1-2s-t$, $x_3=s$, $x_4=t$.
Alebo môžem riešenie rozdeliť na riešenie nehomogénnej a homogénnej sústavy ako $$(1-s-3t,-1-2s-t,s,t)=(1,-1,0,0)+(s-3t,-2s-t,s,t).$$
A homogénnu časť môžem ďalej rozdeliť ako $$(s-3t,-2s-t,s,t)=s(1,-2,1,0)+t(-3,-1,0,1).$$
Stačí teda skontrolovať, že $(1,-1,0,0)$ je riešenie pôvodnej sústavy a $(1,-2,1,0)$ aj $(-3,-1,0,1)$ sú riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy.
(Terminológiu homogénna/nehomogénna sústava rovníc ešte len na prednáške budeme mať - ale to, že sa takéto niečo dá urobiť pri skúške správnosti sme už spomínali. Radšej používam takýto stručnejší termín ako by som zakaždým hovoril "pôvodná sústava" a "sústava, kde sme pravé strany nahradili nulami".)

Skupina C:

Nájdite všetky riešenia sústavy nad poľom $\mathbb R$ určenej zadanou maticou (a napíšte ako presne vyzerá množina riešení).
$$
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 &-1 \\
3 &-1 & 1 & 0 & 3 \\
1 & 2 & 2 & 3 & 0 \\
\end{array}\right)
$$

Spoiler:

Po úprave na redukovaný tvar dostaneme
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-1 &-2 \\
\end{array}\right)$$
t.j. vlastne máme ekvivalentnú sústavu
\begin{align*}
x_1+x_4&=2\\
x_2+2x_4&=1\\
x_3-x_4&=-2
\end{align*}
Ak si zvolíme $x_4=t$, vieme dopočítať ostatné premenné a dostaneme
\begin{align*}
x_1&=2-t\\
x_2&=1-2t\\
x_3&=-2+t\\
x_4&=t
\end{align*}
Množina riešení je $R(S)=\underline{\underline{\{(2-t,1-2t,-2+t,t)\}}}$.

Skúšku môžeme robiť tak, že si riešenie prepíšeme ako $(2-t,1-2t,-2+t,t)=(1,1,-2,0)+t(-1,-2,1,1)$ a dosadzujeme $(1,1,-2,0)$ do pôvodnej sústavy a $(-1,-2,1,1)$ do zodpovedajúcej homogénnej sústavy.

msleziak.com

Sústavy

Sústavy

Re: Sústavy

Re: Sústavy

Re: Sústavy