Patrí vektor do daného podpriestoru?

[Martin Sleziak]

Zistite, či v priestore $\mathbb R^4$ vektor $(1,3,-2,5)$ patrí do podpriestoru $S=[(1,1,0,3),(1,-1,2,1),(2,1,1,5),(2,-3,5,1)]$.

[Martin Sleziak]

Zistite, či v priestore $\mathbb R^4$ vektor $(1,3,-2,5)$ patrí do podpriestoru $S=[(1,1,0,3),(1,-1,2,1),(2,1,1,5),(2,-3,5,1)]$.

Vieme dva štandardné postupy na riešenie takejto úlohy:

Systém lineárnych rovníc
Vlastne sa pýtame, či existujú a, b, c, d také, že $(1,3,-2,5)=a(1,1,0,3)+b(1,-1,2,1)+c(2,1,1,5)+d(2,-3,5,1)$.
To nám dáva takúto sústavu:
$
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
1 &-1 & 1 &-3 & 3 \\
0 & 2 & 1 & 5 &-2 \\
3 & 1 & 5 & 1 & 5
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 &-2 &-1 &-5 & 2 \\
0 & 2 & 1 & 5 &-2 \\
0 &-2 &-1 &-5 & 2
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 1 & \frac12 & \frac52 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\sim$ $\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & \frac32 &-\frac12 & 2 \\
0 & 1 & \frac12 & \frac52 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
$
Vidíme, že jedno riešenie je napríklad $(2,-1,0,0)$. Môžeme skontrolovať, že naozaj platí
$(1,3,-2,5)=2(1,1,0,3)-(1,-1,2,1)$.
(Teda daný vektor patrí do zadaného podpriestoru.)

Riadkové operácie
Môžeme vektory poukladať do riadkov matice a upraviť na redukovaný tvar.
$\begin{pmatrix}
1&1&0&3\\
1&-1&2&1\\
2&1&1&5\\
2&-3&5&1
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&1&0&3\\
1&-1&2&1\\
2&1&1&5\\
0&-1&1&-1
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
1&0&1&2\\
2&0&2&4\\
0&1&-1&1
\end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix}
1&0&1&2\\
0&1&-1&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{pmatrix}
$
(1) Od štvrtého riadku som odpočítal dvojnásobok druhého.

Vieme, že pôvodnej a výslednej matici prislúcha rovnaký podpriestor. Ak máme maticu v redukovanom tvare, ľahko zistíme, či vektor patrí do jej podpriestoru.
Konkrétne sa stačí pozrieť na miesta, kde máme vedúce jednotky. V našom prípade máme
$1\cdot(1,0,1,2)+3\cdot(0,1,-1,1)=(1,3,-2,5)$.
(Teda daný vektor patrí do zadaného podpriestoru.)

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytli v písomkách
Úloha takéhoto typu (s inými číslami) bola na dnešnej písomke. Napíšem nejaké komentáre sem.

Niektorí ste si do matice dali všetkých päť vektorov - tie, čo generujú zadaný podpriestor spolu s tým, o ktorom sa pýtame či je lineárna kombinácia.
Ak ste potom dostali nejaký riadok, prehlásili ste, že vektor do zadaného podpriestoru patrí.
To nie je dostatočný argument - môže sa stať, že generujúce vektory sú lineárne závislé a nulový riadok dostanete z nich.

Našla sa aj písomka, kde niekto vyriešil sústavu, dostal sa k tvaru z ktorého sa dá dostať riešenie (alebo aspoň vyčítať to, že táto sústava nejaké riešenie má) - a potom ste napísali, že vektor tam nepatrí, lebo riešenie nie je $(0,0,0,0)$. (Môj tip je, že ste si to poplietli s overovaním lineárnej nezávislosti - tam je dôležité, či existuje nenulové riešenie; to je ale úplne iný typ úlohy.)

[Martin Sleziak]

Pre zmenu niečo nad $\mathbb Z_5$.

Zistite, či vektor $\vec y$ patrí do podpriestoru $[\vec x_1, \vec x_2, \vec x_3]\subseteq(\mathbb Z_5)^4$.
\begin{align*}
\vec y&=(1,3,2,4)\\
\vec x_1&=(2,1,1,2)\\
\vec x_2&=(1,3,1,2)\\
\vec x_3&=(2,3,2,1)\\
\end{align*}

Úpravami na RSM.

$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$
Teraz stačí skontrolovať, či $(1,3,2,4)$ je $1\vec r_1+3\vec r_2+2\vec r_3$, kde $\vec r_i$ označuje $i$-ty riadok upravenej matice.
Táto rovnosť platí, a teda $\vec y$ patrí do zadaného podpriestoru.

Pripomeniem, že ako čiastočnú skúšku správnosti pri úprave RSM môžeme urobiť to, že skontrolujeme či riadky pôvodnej matice sú lineárne kombinácie riadkov upravenej matice. (Rovnakým spôsobom, ako sme to urobili pre vektor $\vec y$.)

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 1 & 2 \\
1 & 4 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
$

Riešením sústavy.

$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$
Z tejto matice vieme vyčítať riešenie.
Môžeme skontrolovať, že naozaj $\vec y=4\vec x_1+3\vec x_2$.
(Pretože počítame v $\mathbb Z_5$, to isté môžeme rátať ako $\vec y=3\vec x_2-\vec x_1$, ak sa nám tak lepšie počíta.)

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 4 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 4 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$