Geometrický význam determinantu

[Martin Sleziak]

V poznámkach, ktoré máte k dispozícii, si môžete prečítať že geometricky determinant predstavuje:
* Objem rovnobežnostena (plochu rovnobežníka) určeného vektormi, ktoré sú riadky danej matice.
* Ak sa na maticu pozeráme ako na maticu nejakého lineárneho zobrazenia, tak determinant hovorí koľkokrát sa pri aplikovaní tohoto zobrazenia na nejaký útvar zväčší objem (plocha).
* Okrem toho je tam ešte kladné alebo záporné znamienko - to hovorí niečo o orientácii (alebo sa na to môžeme pozerať ako na "objem so znamienkom")

Pridám k tomu aj nejaké linky:
* Wikipédia: Determinant § Geometric meaning (Current revision)
* Mathematics Stack Exchange: What's an intuitive way to think about the determinant? (A aj: Geometric meaning of the determinant of a matrix, zaujímavé môžu byť aj ďalšie posty, na ktoré sú tam linky.)

Hlavne ale spomeniem toto video, kde to je pekne ilustrované: The determinant | Essence of linear algebra, chapter 6. (Je to z kanálu 3Blue1Brown - už som kedysi spomínal, že tam je playlist s videami k lineárnej algebre.)

Ešte aj nejaké ďalšie linky sa dajú nájsť tu: viewtopic.php?t=555 (Podobný topic, k inému predmetu.)

[Martin Sleziak]

* Ak sa na maticu pozeráme ako na maticu nejakého lineárneho zobrazenia, tak determinant hovorí koľkokrát sa pri aplikovaní tohoto zobrazenia na nejaký útvar zväčší objem (plocha).

Toto napríklad môže dať aj nejakú motiváciu vzťahu pre súčin dvoch štvorcových matíc: $\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)$.
Ak totiž vieme, že jedno zobrazenie zväčšuje plochu ľubovoľného útvaru $\det(A)$-násobne a druhé zväčší každý útvar $\det(B)$-násobne, ak aplikujeme zložené zobrazenie, tak sa plocha zväčší práve $\det(A)\cdot\det(B)$-krát. (Po aplikovaní jedného zobrazenia dostaneme $\det(A)$-krát väčší útvar a tento nový - už zväčšený - útvar potom ešte zväčším $\det(B)$-krát.)

Ak sa zaoberáme znamienkom, tak to tiež sedí: V závislosti od toho, či jednotlivé zobrazenia menili orientáciu alebo nie, vieme povedať aj či zložené zobrazenie mení orientáciu.