Spojitosť a sekvenciálna spojitosť

[Martin Sleziak]

Ako príklad tvrdenia, ktoré využíva axiómu výberu a s ktorým sme sa stretli už v prvom ročníku, sme spomenuli fakt, že tieto dve definície spojitosti sú ekvivalentné pre funkcie $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$:

• Obvyklá (Cauchyho) definícia spojitosti: $(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
• Sekvenciálna spojitosť (Heineho definícia): Pre ľubovoľnú postupnosť reálnych čísel takú, že $x_n\to x$ platí aj $f(x_n)\to f(x)$

Na tejto ekvivalencii je zaujímavé aj to, že:
a) Ak sa pozeráme na spojitosť v bode, tak sa táto ekvivalencia nedá dokázať v ZF, čiže aspoň v nejakej forme sa axióma výberu objaví v dôkaze.
b) Ak by sme toto tvrdenie dokazovali pre globálnu spojitosť, t.j. v oboch častiach predpokladáme platnosť uvedenej podmienky pre všetky $x\in\mathbb R$, tak sa už táto ekvivalencia dá dokázať v ZF (teda bez použitia axiómy výberu), aj keď dôkaz bude o čosi komplikovanejší, než obvyklý dôkaz. (Ten dôkaz, ktorý poznáme z prvého ročníka a ktorý využíva AC.)

Pridám nejaké linky:
* Continuity and the Axiom of Choice (Mathematics Stack Exchange) - tu sa dajú nájsť odkazy na ďalšie zdroje;
* Tvrdenie globálnu spojitosť je ako Theorem 3.15 v Horst Herrlich, Axiom of Choice, Lecture Notes in Mathematics 1876. (A v tejto knihe sa dajú nájsť aj ostatné veci, ktoré sme spomenuli - presné referencie sa dajú nájsť v poste, na ktorý je linka vyššie. Táto kniha by mala byť dostupná zo siete UK.)
* Dôkaz pre globálnu spojitosť je v nejakej podobe spísaný aj tu: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak ... C/cont.pdf