Náš dôkaz využíval axiómu výberu, takéto funkcie sa dajú zostrojiť aj úplne explicitne.
V tomto poste by som skúsil pozbierať odkazy na nejaké miesta, kde sa dajú nájsť rôzne príklady takýchto funkcií.
Predtým ale poviem niečo k terminológii. Pre funkcie také, že na každom intervale $(a,b)$ sa nadobudnú všetky hodnoty medzi $f(a)$ a $f(b)$, sa zvyknúť používať názvy Darboux function alebo intermediate value property. (Druhý názov súvisí s vetou o strednej hodnote. Prvý názov súvisí s Darbouxovou vetou, ktorá hovorí, že každá derivácia má túto vlastnosť.)
Ak sa v literatúre vyskytnú príklady funkcií, kde sa nadobúdajú všetky reálne hodnoty na každom interval, tak sú často bez nejakého špeciálneho pomenovania. Názvy, ktoré sa vyskytujú, sú strongly Darboux functions a everywhere surjective functions.
Wikipedia
Knihy
- Dôkaz transfinitnou inukciou: Theorem 6.1.1 a Theorem 7.2.1 v K. Ciesielski: Set Theory for the Working Mathematician
- Limes superior z priemeru cifier dvojkového zápisu dá funkciu, kde na každom intervale sa nadobúdajú všetky hodnoty z intervalu $[0,1]$, takúto funkciu nie je ťažké zmodifikovať tak, aby sme dostali všetky reálne hodnoty. Exercise 9.M v A. C. M. van Rooij, W. H. Schikhof: A Second Course on Real Functions, Problem 1.3.29 (s.18 a s. 159) vo Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak: Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and differentiation
Online
- Function with range equal to whole reals on every open set
- Can we construct a function $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that it has intermediate value property and discontinuous everywhere?
- Is there a function $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that every non-empty open interval is mapped onto $\mathbb{R}$?
- Function whose image of every open interval is $(-\infty,\infty)$