Tabuľky charakterov

[Martin Sleziak]

Možno by nebolo zle mať niekde pokope tabuľky charakterov, ktoré sme odvodili.

Dám sem aspoň tie, ktoré som už dal na fórum pri riešení nejakých úloh a možno časom prepíšem aj ďalšie.

[Martin Sleziak]

Symetrické grupy

Grupa $S_4$

Tabuľka charakterov grupy $G=S_4$ je (podľa toho, čo sme videli v Section 18.1):
$$
\begin{array}{cccccc}
& 1 & (12) & (123) & (12)(34) & (1234) \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\
\chi_3 & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\
\chi_4 & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 \\
\chi_5 & 3 & -1 & 0 & -1 & 1
\end{array}
$$

Grupa $S_6$

$$
\begin{array}{c|ccccccccccc}
& (1) & (2) & (3) & (2,2) & (4) & (3,2) & (5) & (2,2,2) & (3,3) & (4,2) & (6) \\
|C_G(g_i)| & 720 & 48 & 18 & 16 & 8 & 6 & 5 & 48 & 18 & 8 & 6 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 &-1 & 1 & 1 &-1 &-1 & 1 &-1 & 1 & 1 &-1 \\
\chi_3 & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 &-1 &-1 \\
\chi_4 & 5 &-3 & 2 & 1 &-1 & 0 & 0 & 1 &-1 &-1 & 1 \\
\chi_5 &10 & 2 & 1 &-2 & 0 &-1 & 0 &-2 & 1 & 0 & 1 \\
\chi_6 &10 &-2 & 1 &-2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 &-1 \\
\chi_7 & 9 & 3 & 0 & 1 &-1 & 0 &-1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\
\chi_8 & 9 &-3 & 0 & 1 & 1 & 0 &-1 &-3 & 0 & 1 & 0 \\
\chi_9 & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & -3 & 2 & -1 & 0 \\
\chi_{10}& 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & 2 & -1 & 0 \\
\chi_{11}& 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Dihedrálne grupy

Tabuľky charakterov dihedrálnych grúp poznáme zo Section 18.3, s.183.

Grupa $D_8$

Tabuľka charakterov pre $D_8$ Example 16.3(3), kde bola odvodená na základe toho, že z Exercise 10.4 poznáme všetky ireducibilné reprezentácie tejto grupy.
$$
\begin{array}{cccccc}
& 1 & a^2 & a & b & ab \\\hline
\psi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\psi_3 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
\psi_4 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
\psi_5 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Alternujúce grupy

Grupa $A_4$

$$
\begin{array}{c|cccc}
g & id & (12)(34) & (123) & (132) \\\hline
|C_G(g)|& 12 & 4 & 3 & 3 \\\hline
\chi_1(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2(g) & 1 & 1 & \omega & \omega^2 \\
\chi_3(g) & 1 & 1 & \omega^2 & \omega \\
\chi_4(g) & 3 & -1 & 0 & 0 \\\hline
\end{array}
$$

Grupa $A_5$

Example 20.14.

$$
\begin{array}{c|ccccc}
g_i & 1 & (123) & (12)(34) & (12345) & (13452) \\
|C_G(g_i)| & 60 & 3 & 4 & 5 & 5\\\hline
\psi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2 & 4 & 1 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3 & 5 &-1 & 1 & 0 & 0 \\
\psi_4 & 3 & 0 &-1 & \alpha & \beta \\
\psi_5 & 3 & 0 &-1 & \beta & \alpha
\end{array}
$$

Grupa $A_6$

Napríklad z Exercise 20.2

$$
\begin{array}{c|cccccccc}
& 1 & (3) & (2,2) & (5) & (5') & (3,3) & (4,2) \\
|C_H(g_i)| & 360 & 9 & 8 & 5 & 5 & 9 & 4 \\\hline
\psi_1=\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2=\chi_3\downarrow H & 5 & 2 & 1 & 0 & 0 &-1 &-1 \\
\psi_3=\chi_5\downarrow H &10 & 1 &-2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\psi_4=\chi_7\downarrow H & 9 & 0 & 1 &-1 &-1 & 0 & 1 \\
\psi_5=\chi_9\downarrow H & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
\psi_7 & 8 &-1 & 0 & x_1 & x_2 &-1 & 0 \\
\psi_8 & 8 &-1 & 0 & x_2 & x_1 &-1 & 0 \\
\end{array}
$$
$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}2$.