4.1. Hrátky s determinantami

[anderle.michal]

Úloha 4.1: Nech $A$ je symetrická reálna matica taká, že $D_1>0, D_2>0, \dots, D_n>0$. (Determinanty $D_k$ majú rovnaký význam ako v tvrdení z prednášky). Dokážte, že potom $a_{nn}>0$.

To, že všetky determinanty sú kladné hovorí, že matica $A$ je kladne definitná. To ale znamená, že je kongruentná s jednotkovou maticou $I$. Teda platí $A = PIP^T$ z čoho dostaneme $A = PP^T$. Teraz potrebujeme zistiť, čomu sa rovná prvok $a_{nn}$. No to je zjavne skalárny súčin posledného riadku matice $P$ a posledného stĺpca matice $P^T$. Čo je zhodou okolností ten istý vektor (lebo transponovanie), označme si ho $\vec\alpha$. Dostávame $a_{nn} = \langle \vec\alpha, \vec\alpha \rangle$, čo je z definície skalárneho súčinu väčšie rovné ako $0$. A ako tiež z definície vieme, tak $0$ sa rovná práve vtedy, keď $\vec\alpha = \vec0$.

Dobre, zostáva nám sa zamyslieť, či môže nastať takýto prípad. Pre spor predpokladajme, že môže. V tom prípade je posledný riadok matice $P$ nulový, z čoho vyplýva, že $|P| = 0$. Ale platí $0 < D_n = |A| = |PP^T| = |P||P^T| = 0$ čo je očividný spor.

Tým pádom je prvok $a_{nn}$ väčší ako $0$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Keby ste použili to, že matica $P$ je regulárna, mali by ste takmer zadarmo, že nemôže obsahovať nulový riadok.

Iné možné riešenie je uvedomiť si, že kladná definitnosť nijako nezávisí od voľby súradníc, v ktorých sa na kvadratickú formu pozerám. A ak by som jednoducho zobral tieto súradnice v opačnom poradí, t.j. $y_1=x_n, y_2=x_{n-1},\dots,y_n=x_1$, tak v nových súradniciach má matica kvadratickej formy na prvom mieste prvok $a_{nn}$. Tento prvok má byť kladný - je to rohový determinant.

Z tohoto vidíme, že aj to, že rohové determinanty $D'_1,\dots,D'_n$ novej matice sú kladné; v pôvodnej matice sú to presne determinanty, ktoré dostaneme, keď vyberáme podmatice začínajúc od pravého dolného rohu. (Čiže takto by sme vedeli dostať o trochu silnejšie tvrdenie - na takúto vec som sa ale v zadaní úlohy nepýtal, čiže to už je navyše.)

[Martin Sleziak]

Iné jednoduché riešenie: Matica je kladne definitná, pre vektor $\vec e_n=(0,\dots,0,1)$ mám $\vec e_n A \vec e_n^T=a_{nn}>0$. (Riešenie z dnešnej skúšky - V. Boža.)