Exercise 22.1 - 15-prvková grupa je komutatívna

[Martin Sleziak]

Exercise 22.1. Let $G$ be a group of order 15. Use Theorems 11.12, 17.11 and 22.11 to show that every irreducible character of G has degree 1. Deduce that G is abelian.$\newcommand{\CG}{\mathbb CG}$

Keď už nám autori presne napísali, ktoré výsledky máme použiť, tak možno sa oplatí začať tým, že si ich pripomenieme. (Myslím si však, že sme tieto veci používali dosť často na to, že by sme si na ne spomenuli aj bez toho, aby nám autori povedali, čo treba použiť.)

Theorem 11.12 hovorí o tom, že súčet štvorcov dimenzií všetkých neizomorfných ireducibilných $\CG$-modulov je rovný počtu prvkov grupy. (A to isté teda platí pre druhé mocniny všetkých ich ireducibilných charakterov.)

Theorem 17.11 hovorí, že počet lineárnych charakterov je rovný počtu prvkov faktorovej grupy $G/G'$, a teda musí deliť $|G|$.

Theorem 22.11 hovorí, že $\chi(1)\mid G$ pre každý ireducibilný charakter, teda stupeň ireducibilného charakteru delí počet prvkov grupy.

Ideme sa teda pokúsiť zapísať číslo 15 ako súčet druhých mocnín nejakých čísel, ktoré delia 15. Pritom $5^2>15$, teda sa tam môžu vyskytovať iba $1$ a $3$. Súčasne počet jednotiek musí byť deliteľ 15.

Stačí si všimnúť, že $15-5\times1^2=10$, $15-3\times1^2=12$ ani $15-1\times1^2=14$ nie sú násobky $3^2=9$.

Teda $15=15\times 1^2$ je jediná možnosť. Z Proposition 9.18 vieme, že ak sú všetky ireducibilné charaktery lineárne, tak ide o abelovskú grupu.