- $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y+3z=0\}$, $T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; |x|=|y|\}$
- $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-2z=0\}$, $T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}$
- $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; 2x-y-z=0\}$, $T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2\}$
- $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y=0\}$, $T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; |x+y|=|x-y|\}$
Podpriestory a nepodpriestory
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Podpriestory a nepodpriestory
Pre zadané množiny $S,T\subseteq\mathbb R^3$ zistite, či $S$, $T$ a $S\cap T$ sú podpriestory vektorového priestoru $\mathbb R^3$. Svoje tvrdenie zdôvodnite.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Podpriestory a nepodpriestory
Vo všetkých štyroch skupinách je $S$ podpriestor - a overí sa to vcelku priamočiaro, stačí skontrolovať kritérium podpriestoru.
Na prednáške budete vidieť aj všeobecnejšie tvrdenie: Pre ľubovoľný homogénny systém lineárnych rovníc je množina riešením podpriestorom $\mathbb R^n$. (Názov homogénna sústava používame pre sústavu, kde sú pravé strany nulové.) Toto je veľmi jednoduchý špeciálny prípad, keď máme iba jednu rovnicu.
Napríklad v skupine B to môžeme overiť takto:
Aj v ostatných skupinách je zdôvodnenie podobné.
Odpoveď, či $S$ a $S\cap T$ sú podpriestory sa v jednotlivých skupinách líši, pozrieme sa na jednotlivé prípady zvlášť.
Skupina B
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-2z=0\}\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}
\end{align*}
Všimnime si, že pre reálne čísla platí $x^2+y^2=0$ práve vtedy, keď $x=y=0$.
Takže vlastne vidíme, že
$$T=\{(0,0,z); z\in\mathbb R\}.$$
Vidíme, že $T$ je priamka prechádzajúca nulou (je to $z$-ová os).
Teda $T$ je podpriestor - formálne to overíme napríklad tak, že skontrolujeme kritérium podpriestoru.
Vieme, že aj $S\cap T$ je potom podpriestor. (Prienik podpriestorov je opäť podpriestor.)
V tomto prípade dokonca vidíme, že
$$S\cap T=\{(0,0,0)\},$$
čiže prienik je nulový podpriestor.
Skupiny A a C
Všimnime si, že v skupine A aj C je množina $T$ rovnaká (len inak zapísaná) -- pre reálne čísla máme $x^2=y^2$ $\Longleftrightarrow$ $|x|=|y|$.
Množina $T$ nie je podpriestor - aby sme to zdôvodnili, stačí nám nájsť nejaké vektory $\vec x,\vec y$, ktoré patria do $T$ a súčasne ich súčet $\vec x+\vec y$ do $T$ nepatrí.
To platí napríklad ak $\vec x=(1,1,0)$ a $\vec y=(1,-1,0)$.
\begin{align*}
\vec x&=(1,1,0)\in T\\
\vec y&=(1,-1,0)\in T\\
\vec x&+\vec y=(2,0,0)\notin T
\end{align*}
Chceme sa pozrieť aj na
$$S\cap T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y+3z=0, |x|=|y|\}.$$
Vďaka tomu, že podmienka $|x|=|y|$ nedáva žiadne obmedzenia na $z$, môžeme použiť podobné vektory ako vyššie, ale tretiu súradnicu namiesto nulovej zmeníme tak, aby vektor patril aj do $S$.
\begin{align*}
\vec x&=(1,1,0)\in S\cap T\\
\vec y&=(1,-1,-\frac12)\in S\cap T\\
\vec x&+\vec y=(2,0,-\frac12)\notin S\cap T
\end{align*}
Teda $S\cap T$ nie je podpriestor.
Poznámka: Rovnaký kontrapríklad ako pre $S\cap T$ funguje aj pre $T$. (Resp. všeobecne, ak vieme že $S$ je podpriestor a $S\cap T$ nie je podpriestor, tak z toho už vyplýva že $T$ nie je podpriestor.)
Aj tak som napísal ako sa dá nájsť kontrapríklad pre $T$, keďže tam je situácia o čosi jednoduchšia.
Skupina C by sa dala riešiť podobne.
Skupina D
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y=0\}\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; |x+y|=|x-y|\}
\end{align*}
Opäť máme, že $S$ je podpriestor.
Množina $T$ nie je podpriestor - vieme opäť nájsť dva vektory z $T$, ktorých súčet už nie je z $T$.
\begin{align*}
\vec x&=(1,0,0)\in T\\
\vec y&=(0,1,0)\in T\\
\vec x&+\vec y=(1,1,0)\notin T
\end{align*}
Vlastne je to do istej miery podobný príklad ako v skupine A; zvolili sme si v jednom prípade $x+y=x-y=1$ a v druhom $x+y=1$, $x-y=-1$.
Čomu sa rovná $S\cap T$?
Do tejto množiny patria trojice, ktoré súčasne spĺňajú podmienky $x-y=0$ aj $|x+y|=|x-y|$.
Prvá podmienka znamená $x=y$. Ak do druhej dosadíme $x$ za $y$, dostaneme
\begin{align*}
|x+y|&=|x-y|\\
|2x|&=0\\
x&=0
\end{align*}
Teda v prieniku ležia také body, pre ktoré platí $x=y=0$. Zistili sme, že
$$S\cap T=\{(0,0,z); z\in\mathbb R\}$$
a $S\cap T$ je podpriestor.
Na prednáške budete vidieť aj všeobecnejšie tvrdenie: Pre ľubovoľný homogénny systém lineárnych rovníc je množina riešením podpriestorom $\mathbb R^n$. (Názov homogénna sústava používame pre sústavu, kde sú pravé strany nulové.) Toto je veľmi jednoduchý špeciálny prípad, keď máme iba jednu rovnicu.
Napríklad v skupine B to môžeme overiť takto:
Spoiler:
Odpoveď, či $S$ a $S\cap T$ sú podpriestory sa v jednotlivých skupinách líši, pozrieme sa na jednotlivé prípady zvlášť.
Skupina B
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-2z=0\}\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}
\end{align*}
Všimnime si, že pre reálne čísla platí $x^2+y^2=0$ práve vtedy, keď $x=y=0$.
Takže vlastne vidíme, že
$$T=\{(0,0,z); z\in\mathbb R\}.$$
Vidíme, že $T$ je priamka prechádzajúca nulou (je to $z$-ová os).
Teda $T$ je podpriestor - formálne to overíme napríklad tak, že skontrolujeme kritérium podpriestoru.
Vieme, že aj $S\cap T$ je potom podpriestor. (Prienik podpriestorov je opäť podpriestor.)
V tomto prípade dokonca vidíme, že
$$S\cap T=\{(0,0,0)\},$$
čiže prienik je nulový podpriestor.
Skupiny A a C
Všimnime si, že v skupine A aj C je množina $T$ rovnaká (len inak zapísaná) -- pre reálne čísla máme $x^2=y^2$ $\Longleftrightarrow$ $|x|=|y|$.
Množina $T$ nie je podpriestor - aby sme to zdôvodnili, stačí nám nájsť nejaké vektory $\vec x,\vec y$, ktoré patria do $T$ a súčasne ich súčet $\vec x+\vec y$ do $T$ nepatrí.
To platí napríklad ak $\vec x=(1,1,0)$ a $\vec y=(1,-1,0)$.
\begin{align*}
\vec x&=(1,1,0)\in T\\
\vec y&=(1,-1,0)\in T\\
\vec x&+\vec y=(2,0,0)\notin T
\end{align*}
Chceme sa pozrieť aj na
$$S\cap T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y+3z=0, |x|=|y|\}.$$
Vďaka tomu, že podmienka $|x|=|y|$ nedáva žiadne obmedzenia na $z$, môžeme použiť podobné vektory ako vyššie, ale tretiu súradnicu namiesto nulovej zmeníme tak, aby vektor patril aj do $S$.
\begin{align*}
\vec x&=(1,1,0)\in S\cap T\\
\vec y&=(1,-1,-\frac12)\in S\cap T\\
\vec x&+\vec y=(2,0,-\frac12)\notin S\cap T
\end{align*}
Teda $S\cap T$ nie je podpriestor.
Poznámka: Rovnaký kontrapríklad ako pre $S\cap T$ funguje aj pre $T$. (Resp. všeobecne, ak vieme že $S$ je podpriestor a $S\cap T$ nie je podpriestor, tak z toho už vyplýva že $T$ nie je podpriestor.)
Aj tak som napísal ako sa dá nájsť kontrapríklad pre $T$, keďže tam je situácia o čosi jednoduchšia.
Skupina C by sa dala riešiť podobne.
Skupina D
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y=0\}\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; |x+y|=|x-y|\}
\end{align*}
Opäť máme, že $S$ je podpriestor.
Množina $T$ nie je podpriestor - vieme opäť nájsť dva vektory z $T$, ktorých súčet už nie je z $T$.
\begin{align*}
\vec x&=(1,0,0)\in T\\
\vec y&=(0,1,0)\in T\\
\vec x&+\vec y=(1,1,0)\notin T
\end{align*}
Vlastne je to do istej miery podobný príklad ako v skupine A; zvolili sme si v jednom prípade $x+y=x-y=1$ a v druhom $x+y=1$, $x-y=-1$.
Čomu sa rovná $S\cap T$?
Do tejto množiny patria trojice, ktoré súčasne spĺňajú podmienky $x-y=0$ aj $|x+y|=|x-y|$.
Prvá podmienka znamená $x=y$. Ak do druhej dosadíme $x$ za $y$, dostaneme
\begin{align*}
|x+y|&=|x-y|\\
|2x|&=0\\
x&=0
\end{align*}
Teda v prieniku ležia také body, pre ktoré platí $x=y=0$. Zistili sme, že
$$S\cap T=\{(0,0,z); z\in\mathbb R\}$$
a $S\cap T$ je podpriestor.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Podpriestory a nepodpriestory
Komentáre k odovzdaným riešeniam
V jednej z odovzdaných úloh som dostal riešenie, kde ste pri overení že $S$ je podpriestor, postupne skontrolovali
Kritérium podpriestoru bolo uvedené v dvoch verziách - každá z nich je ekvivalentná s definíciou.
T.j. stačilo by overiť $c,d\in\mathbb R,\vec x,\vec y\in S$ $\Rightarrow$ $c\vec x+d\vec y\in S$; z tejto podmienky už vyplýva uzavretosť na súčet aj na skalárny násobok.
Alebo ak overíme uzavretosť na súčet a skalárny násobok, tak z nich už vyplýva aj táto podmienka - a overiť tieto veci (spolu s $S\ne\emptyset$) nám úplne stačí na to, aby sme vedeli, že to je podpriestor.
To, čo je tu napísané, síce je pravda - nie sú to však tie veci, ktoré chceme overiť.
Ak kontrolujeme uzavretosť na $c$-násobok, tak sa nepýtame na to, či platí $c|x|=c|y|$ ale na to, či platí
$$|cx|=|cy|.$$
Pre absolútnu hodnotu máme $|cx|=|c|\cdot|x|$, $|cy|=|c|\cdot|y|$, teda uvedená rovnosť vyplýva z $|x|=|y|$. (A teda táto podmienka pre $T$ platí.)
Ešte chceme overiť aj uzavretosť na súčet, čo v našom prípade znamená zistiť, či z $|x_1|=|x_2|$ a $|y_1|=|y_2|$ vyplýva
$$|x_1+x_2|=|y_1+y_2|.$$
Toto už neplatí - kontrapríklad sme už videli. Treba si všimnúť, že to je iná podmienka než $|x_1|+|x_2|=|y_1|+|y_2|$.
Mali sme výraz, o ktorom sme chceli overiť, či sa rovná nule. Ak si uvedomíme, že pre vektory z $T$ máme $x_1=x_2=y_1=y_2=0$, tak v skutočnosti dostaneme
$$2cd(x_1y_1+x_2y_2)=0$$
a vidíme, že množina $T$ je uzavretá vzhľadom na súčet. Asi by sme na problém s uvedeným argumentom prišli, keby sme skúšali nájsť nejaký konkrétny kontrapríklad. (T.j. ak by sme sa nespoľahli - bez vyskúšania - na to, že sa budú súradnice dať navoliť tak, aby $2cd(x_1y_1+x_2y_2)\ne0$.)
V jednej z odovzdaných úloh som dostal riešenie, kde ste pri overení že $S$ je podpriestor, postupne skontrolovali
- $\vec0\in S$
- $\vec x,\vec y\in S$ $\Rightarrow$ $\vec x+\vec y\in S$
- $c\in\mathbb R,\vec xS$ $\Rightarrow$ $c\vec x\in S$
- $c,d\in\mathbb R,\vec x,\vec y\in S$ $\Rightarrow$ $c\vec x+d\vec y\in S$
Kritérium podpriestoru bolo uvedené v dvoch verziách - každá z nich je ekvivalentná s definíciou.
T.j. stačilo by overiť $c,d\in\mathbb R,\vec x,\vec y\in S$ $\Rightarrow$ $c\vec x+d\vec y\in S$; z tejto podmienky už vyplýva uzavretosť na súčet aj na skalárny násobok.
Alebo ak overíme uzavretosť na súčet a skalárny násobok, tak z nich už vyplýva aj táto podmienka - a overiť tieto veci (spolu s $S\ne\emptyset$) nám úplne stačí na to, aby sme vedeli, že to je podpriestor.
V skutočnosti $T$ nie je podpriestor - ako sme videli vyššie.$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; |x|=|y|\}$ je podpriestor:
- $(0,0,0)\in T$ lebo $|0|=|0|$
- $|x|=|y|$ $\Longrightarrow$ $c|x|=c|y|$
- $|x_1|=|y_1|$, $|x_2|=|y_2$| $\Longrightarrow$ $|x_1|+|x_2|=|y_1|+|y_2|$
To, čo je tu napísané, síce je pravda - nie sú to však tie veci, ktoré chceme overiť.
Ak kontrolujeme uzavretosť na $c$-násobok, tak sa nepýtame na to, či platí $c|x|=c|y|$ ale na to, či platí
$$|cx|=|cy|.$$
Pre absolútnu hodnotu máme $|cx|=|c|\cdot|x|$, $|cy|=|c|\cdot|y|$, teda uvedená rovnosť vyplýva z $|x|=|y|$. (A teda táto podmienka pre $T$ platí.)
Ešte chceme overiť aj uzavretosť na súčet, čo v našom prípade znamená zistiť, či z $|x_1|=|x_2|$ a $|y_1|=|y_2|$ vyplýva
$$|x_1+x_2|=|y_1+y_2|.$$
Toto už neplatí - kontrapríklad sme už videli. Treba si všimnúť, že to je iná podmienka než $|x_1|+|x_2|=|y_1|+|y_2|$.
Toto je dobrá ukážka prečo je pri tomto type príkladu dobré vyskúšať nájsť konkrétny kontrapríklad.$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}$ nie je podpriestor.
Ak máme $\vec x=(x_1,x_2,x_3)$ a $\vec y=(y_1,y_2,y_3)$, t.j. $x_1^2+x_2^2=y_1^2+y_2^2=0$, tak chceme overiť, či vektor
$$c\vec x+d\vec y=(cx_1+dy_1,cx_2+dy_2,cx_3+dy_3)$$
patrí do $T$.
Máme $$(cx_1+dy_1)^2+(cx_2+dy_2)^2=c^2\underset{=0}{\underbrace{(x_1^2+x_2^2)}}+d^2\underset{=0}{\underbrace{(y_1^2+y_2^2)}}+2cd(x_1y_1+x_2y_2).$$
Výraz $2cd(x_1y_1+x_2y_2)$ môže byť hocičo, množina $T$ nie je uzavretá na sčitovanie.
Mali sme výraz, o ktorom sme chceli overiť, či sa rovná nule. Ak si uvedomíme, že pre vektory z $T$ máme $x_1=x_2=y_1=y_2=0$, tak v skutočnosti dostaneme
$$2cd(x_1y_1+x_2y_2)=0$$
a vidíme, že množina $T$ je uzavretá vzhľadom na súčet. Asi by sme na problém s uvedeným argumentom prišli, keby sme skúšali nájsť nejaký konkrétny kontrapríklad. (T.j. ak by sme sa nespoľahli - bez vyskúšania - na to, že sa budú súradnice dať navoliť tak, aby $2cd(x_1y_1+x_2y_2)\ne0$.)