Spomenul som dve možnosti riešenia, ale ukázali sme si len jednu; o druhej som len povedal ako sa ráta. Tak sem dám príklad takého typu.Pre zobrazenie $f\colon \Z_5^4 \to \Z_5^4$ určené zadanou maticou nájdite bázu a dimenziu jeho jadra aj obrazu.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 3 & 3 \\
2 & 1 & 0 & 3
\end{pmatrix}$
Pre istotu najprv pripomeniem, čo všetko vieme o jadre a obraze.
Pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ definujeme jadro a obraz ako
$\Ker f=\{\vec a\in V; f(\vec a)=\vec 0\}$
$\Ima f=f(V)=\{f(\vec a); \vec a\in V\}$
Pre ich dimenzie platí $\dim(\Ker f)+\dim(\Ima f)=\dim(V)$.
Dokonca z vety o izomorfizme vieme o niečo viac:
$$\Ima f \cong V/\Ker f$$
Riešenie 1
Obraz. Najprv vyrátame dimenziu a bázu $\Ima f$. Vieme, že podpriestor $\Ima f$ je generovaný obrazmi bázových vektorov. To znamená, že vlastne hľadáme bázu podpriestoru generovaného riadkami zadanej matice.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 3 & 3 \\
2 & 1 & 0 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 4 & 2 \\
0 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Zistili sme, že $\dim(\Ima f)=2$ a že bázu tohoto podpriestoru tvoria vektory $(1,0,1,2)$ a $(0,1,3,4)$.
Jadro. Ak chcem nájsť bázu jadra, znamená to, že chceme nájsť vektory, ktoré spĺňajú rovnosť
$$f(\vec a)= \vec a A = \vec 0.$$
Transponovaním dostaneme
$$A \vec a^T= \vec 0^T,$$
čo znamená, že hľadané vektory sú presne riešenia homogénnej sústavy s maticou $A^T$. Takže nám stačí vyriešiť túto sústavu.
Upravíme maticu $A^T$ najprv na redukovaný tvar:
$A^T=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 3 & 3
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 3 & 4 & 2 \\
0 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
Z poslednej matice vieme vyčítať ako vyzerá podpriestor riešení tejto sústavy, čo je presne $\Ker f$. Dostaneme
$\Ker f=[(0,2,1,0),(1,1,0,1)]$
Dimenzia jadra je $\dim(\Ker f)=2$, bázu tvoria vektory $(0,2,1,0)$, $(1,1,0,1)]$.
Môžeme si všimnúť, že $\dim(\Ker f)+\dim(\Ima f)=4$.
Takisto vieme ľahko skontrolovať, že tieto dva vektory sa skutočne zobrazia na nulový vektor.
Riešenie 2:
Skúsme celú úlohu riešiť trochu inak. Napíšeme si ešte jeden stĺpec s vektormi zo štandardnej bázy. T.j. podobne ako pri hľadaní matice zobrazenia to máme zapísané tak, že vľavo máme vektor a vpravo jeho obraz.
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)$
A teraz opäť budeme robiť riadkové úpravy a budeme sa snažiť vpravo dostať redukovaný tvar.
$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4 \\
4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 4 & 2 \\
3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
3 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Keď si všímame iba pravú časť, tak sme vlastne dostali $\dim(\Ima f)=2$ a našli sme aj bázu podpriestoru $\Ima f$.
Súčasne vidíme, že vektory $(0,2,1,0)$ a $(1,1,0,1)$ patria do $\Ker f$ (pretože sa zobrazia na nulu).
Tieto vektory sú lineárne nezávislé. (Všetky 4 vektory na ľavej strane sú lineárne nezávislé; dostali sme ich totiž zo štandardnej bázy elementárnymi riadkovými operáciami.)
A navyše vieme, že $\dim(\Ker f)=4-\dim(\Ima f)=2$.
Ak teda poznáme dimenziu jadra a našli sme v jadre toľko lineárne nezávislých vektorov, koľko je jeho dimenzia, tak tieto vektory tvoria bázu.
Teda $\dim(\Ker f)=2$ a báza jadra je napríklad $(1,1,0,1)$, $(0,2,1,0)$.
Výhody druhého riešenia
Pri druhom výpočte sme síce počítali s väčšou maticou, ale na druhej strane
- Vyrátali sme obe veci naraz.
- Vieme robiť skúšku po každom kroku - už sme hovorili o tom ako: viewtopic.php?t=531
- Vieme na konci skontrolovať, či vektory $(1,0,1,2)$ a $(0,1,3,4)$ skutočne patria do obrazu. Stačí sa pozrieť, či naozaj platí $f(3,4,0,0)=(1,0,1,2)$ a $f(3,1,0,0)=(0,1,3,4)$