Grupa a riešiteľnosť rovníc

[kovacs39]

Nech * je bin asoc operácia na neprázdnej mnozine G a a*x=b y*a= b má riešenie v G potom G je grupa.. ako to dokážem? ďakujem

[kovacs39]

Nech * je bin asoc operácia na neprázdnej mnozine G a a*x=b y*a= b má riešenie v G potom G je grupa.. ako to dokážem? ďakujem

stačí napísať a dokázať , že existuje aj riešenie rovnice ax = a a tým pádom x je pravy neut prvok? + dalej , dokázať , že je grupa áno?

[Martin Sleziak]

Nech $*$ je asociatívna binárna operácia na množine $G\ne\emptyset$. Nech pre každé $a,b\in G$ majú rovnice $a*x=b$, $y*a=b$ riešenia v $G$. (Inými slovami, pre každé $a,b\in G$ existujú $x\in G$ a $y\in G$ \tez $a*x=b$, $y*a=b$.) Dokážte, že $(G,*)$ je grupa. (Hint: Skúste začať dôkazom existencie ľavého a pravého
neutrálneho prvku.)


Ako hovorí hint, mohli by sme začať tým, že ukážeme existenciu neutrálneho prvku.

stačí napísať a dokázať , že existuje aj riešenie rovnice ax = a a tým pádom x je pravy neut prvok? + dalej , dokázať , že je grupa áno?

Treba dať pozor na dve veci. Neutrálny prvok má spĺňať dve rovnosti $a*e=a$ aj $e*a=a$. A navyše musí ich spĺňať pre každé $a\in G$.

Ako píšete, keď si vyberiem nejaké jedno konkrétne $a\in G$ tak zo zadania vyplýva existencia $x$ spĺňajúceho $a*x=a$. Lenže neviem, či pre iný prvok $b\in G$ nebude riešenie rovnice $b*x=b$ iné. (Viem len, že existuje nejaké riešenie určené..)

Čiže rozumné by bolo skúsiť ukázať, že ak si vezmeme jedno konkrétne $a$ a nájdeme k nemu $e$ také, že $a*e=a$, tak potom platí $b*e=b$ aj pre ostatné prvky $b\in G$. Ak sa to podarí ukázať, tak máme pravý neutrálny prvok. Potom skúsiť nájsť ľavý neutrálny prvok. Z prednášky vieme, že pravý a ľavý neutrálny prvok sa musia rovnať a dostaneme neutrálny prvok.

Keď bude dokázaná existencia neutrálneho prvku, môžeme sa skúsiť pohnúť s úlohou ďalej a skúsiť dokazovať existenciu inverzných prvkov.

[jaroslav.gurican]

Pomôže, keď pripomeniem, že ten dôkaz sme robili asi na druhej-tretej prednáške v prvom semestri? Pomocou neho sme potom dokazovali, že ak máme konečnú množinu s asociatívnou binárnou operáciou pre ktorú platia obidva zákony o krátení, tak je to grupa a pomocou toho sme dokázali, že $(Z_p,\oplus,\odot)$ je pole práve vtedy, keď je $p$ prvočíslo.
Takže ak sa pozriete do poznámok za prvý semester, mohlo by to tam byť.

Tento semester som všetky tieto veci len pripomenul.

V tomto štádiu by možno bolo fajn, keby niekto, kto ten dôkaz nájde v poznámkach zverejnil aj tu a pomohol tak iným.

K tomu hintu, ktorý napísal Martin Sleziak by som rád zdôraznil (on o tom píše tiež), že je pomerne ľahko vidieť, že ak existuje ľavý neutrálny prvok a existuje pravý neutrálny prvok pre danú (ľubovoľnú) operáciu, tak "sú" rovnaké, podobne pre inverzné prvky ku kontrétnemu danému prvku (tu je dobre požadovať asociativitu, bez nej to vo všeobecnosti pre inverzné prvky neplatí).

A ešte jeden malý hint, keď začnete s tým, že nech $e_p$ je riešenie rovnice $a\circ x = a$ (pre jedno konkrétne $a\in G$), tak na dôkaz, že toto $e_p$ je pravý neutrálny prvok sa hodia riešenia rovníc typu $y\circ a=b$.

Ak budete mať neutrálny prvok (obojstranný), inverzné z tých riešení rovníc už dostanete zadarmo.