Úloha 4.2.12. - okruh $2\mathbb Z$ a $3\mathbb Z$ nie sú izomorfné

[TiborCernak]

Úloha 4.2.12. Dokážte, že okruhy ($2\mathbb{Z}$, +, ·) a ($3\mathbb{Z}$, +, ·) nie sú izomorfné.

Dôkaz:

Predpokladajme že okruhy sú izomorfné. Potom existuje izomorfizmus \[f: 2\mathbb{Z} \rightarrow 3\mathbb{Z}\]

Položme $f(2) = 3a$ pre nejaké $a \in \mathbb{Z}$.

Potom dokážeme $f(4)$ vyjadriť dvoma spôsobmi:
\[f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=3a+3a=6a\]

Alebo:

\[f(4)=f(2\cdot 2)=f(2)\cdot f(2)=3a\cdot 3a=9a^{2}\]

Jediné možné riešenie pre $a$ v celých číslach je $a=0$

Ale keďže f je izomorfizmus, tak musí zobraziť neutrálny prvok v $2\mathbb{Z}$ na neutrálny prvok v $3\mathbb{Z}$ (v obidvoch prípadoch je to $0$) a teda dostávame:
\[f(0)=0=f(2)\]
čo je ale spor s injektívnosťou $f$ a teda okruhy ($2\mathbb{Z}$, +, ·) a ($3\mathbb{Z}$, +, ·) nie sú izomorfné.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku - značím si 1 bod.
Pridám nejakú linku na starší topic, kde som niečo písal k rovnakej úlohe (asi v súvislosti s nejakou písomkou): viewtopic.php?t=38

Upravil som názov topicu tak, že je tam okrem čísla úlohy aj niečo viac. (Ak si niekto bude čítať, čo je nové na fóre, nech tam má nejaký "deskriptívnejší" názov.)