Úloha 2.2.4. Ak $H$ je podgrupa grupy $(G, ·)$, tak $H^2 = H · H = H$.

[Nadiya Balanchuk]

Zadanie: Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G, ·)$ tak $H^2 = H · H = H$.

Riešenie:
$H·H=\{a·b; a, b \in H\}$, keďže $H$ je podgrupa grupy $G$, tak pre ľubovoľné $a, b \in H$ platí $a, b \in H \rightarrow a · b ∈ H$. Teda každý prvok z
$H·H$ je aj v $H$.
Keďže $H$ je podgrupa, tak tam určite patrí neutrálny prvok. $H·H=\{a·b; a, b \in H\}$, pre $b = e$ dostaneme $\{a·e; a \in H\} = \{a; a \in H\} = H$. Teda každý prvok z $H$ patrí aj $H^2 $.
Ukázali sme, že $H^2 \subseteq H$ a zároveň $H \subseteq H^2$, preto $H^2 = H$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je fajn, značím si 1 bod.

Pridám linku aj na nejaké staršie študentské riešenia:
viewtopic.php?t=847
viewtopic.php?t=425