Úloha 3.5.2 h) $S_3/[(123)] \cong (\mathbb{Z}_2,+)$

[Michal Svec]

Zistite, či dané grupy sú izomorfné.
h) $S_3/[(123)], (\mathbb{Z}_2,+)$

Úlohu vyriešime pomocou vety o izomorfizme.

Najprv zistíme, aké permutácie obsahuje množina $[(123)]$.
$(123)^1 = (123)$
$(123)^2 = (132)$
$(123)^3 = id$
Teda $[(123)] = \{id, (123), (132)\}$.

Teraz potrebujeme nájsť homomorfizmus $\varphi : S_3 \rightarrow (\mathbb{Z}_2,+)$, taký že $Ker(\varphi) = [(123)]$.

Všetky permutácie v množine $[(123)]$ majú cykly nepárnej dlžky, teda ich parita je párna. Tieto permutácie tiež tvoria grupu $A_3$ (všetkych parných permutácií z troch prvkov).
Zobrazenie $\varphi$ môžeme definovať takto $\varphi(\tau) = \begin{cases}
1 & \text{ak je parita nepárna }\\
0 & \text{ak je parita párna}
\end{cases}$
Môžeme vidieť, že permutácie z množiny $[(123)]$ sa zobrazia na $0$ (NP grupy $(\mathbb{Z}_2,+)$), teda $Ker(\varphi) = [(123)]$.
Toto zobrazenie je aj homomorfizmus, parita($\tau \circ \psi$) = parita($\tau$) $+$ parita($\psi$) (teda parita zloženia je súčet parít).
Je to aj surjektívny homomorfizmus, pretože v grupe $S_3$ máme párne aj nepárne permutácie, teda $Im(\varphi) = \mathbb{Z}_2$.
Nakoniec z vety o izomorfizme vyplýva, že $S_3/[(123)] \cong (\mathbb{Z}_2,+)$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku - značím si 1 bod.
Je užitočné vidieť, že parita tu dáva veľmi prirodzený homomorfizmus.

Úplne dostačujúci argument by bol aj ten, že $S_3/[(123)]$ je dvojprvková grupa a každá dvojprvková grupa je izomorfná so $\mathbb Z_2$.
(To, že faktorová grupa je dvojprvková, vidno z $|S_3|=6$ a $|[(123)]|=2$.)

Argument z vášho riešenia aj argument o počte prvkov prejde vo všeobecnosti, vždy platí $S_n/A_ n\cong \mathbb Z_2$. (Ako $A_n$ označujeme alternujúcu grupu , t.j. množinu všetkých párnych permutácií $n$-prvkovej množiny.)