$(a_1*a_2*\dots*a_n)^2=e$ v komutatívnej grupe

[Martin Sleziak]

Nech konečná množina $G=\{e,a_1,\dots,a_n\}$ tvorí s operáciou $*$ komutatívnu grupu a $e$ je jej neutrálny prvok. (Prvky $e,a_1,\ldots,a_n$ sú navzájom rôzne, t.j. počet prvkov tejto grupy je $n+1$.)
Dokážte, že $$(a_1*a_2*\dots*a_n)^2=e.$$

Ako ste si všimli, spomenul som, že nasledujúca úloha sa dá použiť aj na riešenie tejto.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$ (Ide o úlohu týkajúcu sa otázky, kedy je $x\mapsto \inv x$ homomorfizmus resp. izomorfizmus.)
Takže aj sem ešte napíšem niečo o alternatívnom riešení neskôr - keď už aj ďalšia úloha bude po termíne odovzdania. (Aj keď je to veľmi podobná idea - iba zapísaná trochu inak.)

Pozrime sa na to, o čo ide v riešení tejto úlohy.

Označme si $x=a_1*a_2*\dots*a_n$. Pre tento prvok si nejako chceme rozmyslieť, že $x^2=e$.
Nejaké drobnosti, skôr než sa pustíme do riešenia:

• Ak by som pridal aj neutrálny prvok, tak nič nezmením: $x=a_1*a_2*\dots*a_n=e*a_1*a_2*\dots*a_n$.
• Môžeme si to vyskúšať v nejakých konkrétnych prípadoch. Niekedy dokonca $x$ bude neutrálny prvok: Pre $(\mathbb Z_5,+)$ máme $x=1+2+3+4=0$. Ale napríklad v $(\mathbb Z_4,+)$ máme $x=1+2+3=2$. Toto nie je neutrálny prvok - stále však máme $2+2=0$, tvrdenie platí aj v tejto grupe.

Riešenie.
Na vyriešenie úlohy si vlastne stačí uvedomiť, že v súčine
$$x*x=(a_1*a_2*\dots*a_n)*(a_1*a_2*\dots*a_n)$$
máme vlastne ku každému prvku v prvej zátvorke v tej druhej zátvorke inverzný prvok.

Pre každý prvok z $G$ totiž máme v $G$ aj inverzný prvok - a pre rôzne prvky nemôže byť inverz rovnaký. (Inak povedané: Zobrazenie $x\mapsto \inv x$ je bijekcia z $G$ do $G$.)

Teda vlastne vieme, že:
\begin{align*}
x*x&=(a_1*a_2*\dots*a_n)*(a_1*a_2*\dots*a_n)\\
&=(a_1*a_2*\dots*a_n)*(\inv{a_1}*\inv{a_2}*\dots*\inv{a_n})\\
&=(a_1*\inv{a_1})*(a_2*\inv{a_2})*\dots*(a_n*\inv{a_n})\\
&=e*e*\dots*e=e
\end{align*}

Poznámky k vašim riešeniam.
Niektorí ste použili podobný argument ako som napísal vyššie. Ale nijako ste nezdôvodnili, že v druhej zátvorke sú naozaj všetky inverzné prvky a každý práve raz.
Za takéto riešenie som nedával plný počet bodov.

Viacerí ste sa pozreli na dva typy prvkov - podľa toho, či $\inv a=a$ alebo $\inv a\ne a$.
Ak $a\ne\inv a$, tak v súčine ktorý nás zaujíma môžeme prvky preusporiadať tak, aby sme tam mali $a*\inv a$, čo nám dá neutrálny prvok.
Potom stále zostane súčin ostatných prvkov - ale ak už máme iba prvky také, že $a*a=e$, tak súčin $x^2$ môžeme opäť preusporiadať tak, aby sme mali prvok aj inverz vedľa seba.
Takýto argument je úplne v poriadku. (Ak sa rozumne napíše.)

[Martin Sleziak]

Pridám ešte pár liniek:

• Prove that $(a_1a_2\cdots a_n)^{2} = e$ in a finite Abelian group
• Product of all elements in finite abelian group equals its own inverse

A vrátim sa k tomu, o čom som písal vyššie.
Zoberme si zobrazenie $\varphi\colon G\to G$ určené ako $\varphi\colon x \mapsto \inv x$.
O tomto zobrazení sa vcelku ľahko presvedčíme, že pre komutatívnu grupu $G$ to je homomorfizmus: viewtopic.php?t=1903
Súčasne je to aj bijekcia. (Stačí si uvedomiť, že $\varphi\circ\varphi=id_G$.)

Platí teda
\begin{align*}
\varphi(a_1a_2\cdots a_n)
&\overset{(1)}=\varphi(a_1)\varphi(a_2)\cdots \varphi(a_n)\\
&\overset{(2)}=a_1a_2\cdots a_n
\end{align*}
(Rovnosť $(1)$ vyplýva z toho, že $\varphi$ je homomorfizmus. Súčasne to je bijekcia, a teda na pravej strane máme napísané všetky prvky z $G\setminus\{e\}$, toto je dôvod prečo platí rovnosť $(2)$.)

Dostali sme teda vlastne, že
$$\inv{(a_1a_2\cdots a_n)}=a_1a_2\cdots a_n,$$
teda prvok $x=a_1a_2\cdots a_n$ je sám k sebe inverzný a platí $x^2=e$.