V zadaní som spomenul aj to, že tento výsledok (spolu s faktom, že $\varphi$ je bijekcia) by sa dal využiť aj v predchádzajúcej úlohe o rovnosti $(a_1*a_2*\dots*a_n)^2=e$. Do topicu týkajúceho sa tejto úlohy som aj niečo k tomuto dopísal: viewtopic.php?t=1902$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Dokážte, že zobrazenie $\varphi\colon g\mapsto\inv g$ je homomorfizmus z $(G,\cdot)$ do $(G,\cdot)$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.
Nech máme takúto vec pred očami, skúsme si napísať, čo vlastne znamená, že $\varphi$ je homomorfizmus.
\begin{align*}
\varphi(x\cdot y)&=\varphi(x)\cdot\varphi(y)\\
\inv{(x\cdot y)} &= \inv x\cdot \inv y
\end{align*}
Teda vlastne podmienka, že $\varphi$ je homomorfizmus, hovorí to, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ platí:
$$\inv{(x\cdot y)} = \inv x\cdot \inv y \tag{H}$$
Oplatí sa to porovnať s tým, čo vieme, že platí v ľubovoľnej grupe (aj bez komutatívnosti:)
$$\inv{(x\cdot y)} = \inv y\cdot \inv x \tag{I}$$
Riešenie.
Pýtame sa na ekvivalenciu medzi dvoma výrokmi. Pozrieme sa na každú implikáciu zvlášť. Začnime s tou, ktorá je jednoduchšia.
$\boxed{\Leftarrow}$ Predpokladajme, že $G$ je komutatívna grupa, chceme nejako zdôvodniť, že platí rovnosť $(H)$. Máme
$$\inv{(x\cdot y)} \overset{(I)}= \inv y \cdot \inv x \overset{(K)}= \inv x\cdot \inv y.$$
Na mieste označenom $(I)$ sme využili vlastnosti inverzného prvku.
Na mieste označenom $(K)$ sme využili komutatívnosť.
$\boxed{\Rightarrow}$ Teraz chceme ukázať, že $G$ je komutatívna, t.j. že pre ľubovoľné dva prvky $a,b\in G$ platí $a\cdot b=b\cdot a$.
Máme k dispozícii predpoklad, že $\varphi$ je homomorfizmus, t.j. vlastne rovnosť $(H)$. Ak túto rovnosť aplikujeme na prvky $\inv a$ a $\inv b$ (t.j. ak dosadíme $x=\inv a$, $y=\inv b$), tak dostaneme
\begin{align*}
\inv{(\inv a \cdot \inv b)}&= \inv{(\inv a)}\cdot \inv{(\inv b)}\\
\inv{(\inv{(b\cdot a)})}&= a \cdot b\\
b\cdot a&= a \cdot b
\end{align*}
Pri úpravách ľavej strany sme využili: V prvom kroku rovnosť $(I)$, v druhom kroku $\inv{(\inv x)}=x$.
Pri úpravách pravej strany sme tiež využili $\inv{(\inv x)}=x$.