Sumy cez ľubovoľnú indexovú množinu (vrátane nespočítateľnej)

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Thu Nov 03, 2022 10:27 am

Explicitne napíšem. že o dosť viac o tejto téme sa dá nájsť v texte k predmetu Aplikácie teórie množín. (Nájdete tam apendix s názvom: "Sumy nespočítateľne veľa prvkov.")
Je tam aj zopár odkazov na literatúru - niekedy si snáď nájdem čas do toho textu doplniť aj nejaké ďalšie. A nejaké referencie sa dajú pozrieť aj na niektorých odkazoch, ktoré som pridal nižšie.
Na tomto mieste to spomínam hlavne ako ukážku nejakého príkladu siete.
Je o tom niečo stručne spomenuté aj v poznámkach k tomuto predmetu - ale ak chcem pridať aj zopár liniek, tak to má väčší zmysel dať sem na fórum.

Reálne čísla
Zaoberajme sa iba reálnymi číslami.
Predpokladajme, že máme nejakú indexovú množinu $I$ a pre každé $i\in I$ máme dané reálne číslo $x_i$.

My sme zvyknutí na prípad $I=\mathbb N$. Všimnime si, že táto situácia sa odlišuje z viacerých pohľadov:
* Na množine $\mathbb N$ máme prirodzené usporiadanie - tu pracujeme s nejakou indexovou množinou, na ktorej nepredpokladáme existenciu usporiadania.
* Okrem toho sa situácia mení tým, že nemáme žiadne obmedzenie na kardinalitu množiny $I$.

V našej situácii pre každú konečnú podmnožinu $F\subseteq I$ máme reálne číslo
$$x_F= \sum_{i\in F} x_i.$$
Na množinu všetkých konečných podmnožín množiny $I$ sa teraz môžeme pozrieť ako na nahor usmernenú množinu.
Pretože s ňou budeme teraz pracovať, označme si množinu všetkých konečných podmnožín našej indexovej množiny ako $[ I ]^{<\omega}$
Dostali sme takto teda sieť na nahor usmernenej množine $([ I ]^{<\omega},\subseteq)$ - a sumu $\sum\limits_{i\in I} x_i$ definujeme ako limitu tejto siete.

Keď sa poriadnejšie pozrieme na to, čo presne hovorí definícia limity siete pre náš prípad, tak vlastne $\sum\limits_{i\in I} x_i$ definujeme ako také reálne číslo $S$, pre ktoré platí:
$$(\forall\varepsilon>0)(\exists F_0\in [ I ]^{<\omega}) (\forall F\in [ I ]^{<\omega}) (F_0\subseteq F \Rightarrow \lvert S-\sum_{i\in F} x_i \rvert < \varepsilon).$$

Ešte spomeniem, že niekedy môže človeku stačiť prípad, keď pracuje s nezápornými reálnymi číslami.
V takomto prípade sa dá ukázať, že
$$\sum\limits_{i\in I} x_i = \sup \{ \sum\limits_{i\in F} x_i; F \text{ je konečná podmnožina }I\}$$
nám dá ekvivalentnú definíciu.
A nájdete aj texty, kde takéto niečo je piramo definícia. (Čo je asi prirodzená voľba, ak človeku stačia iba nezáporné hodnoty - takáto definícia asi vyzerá jednoduchšie, než všeobecná definícia, ktorá zmysluplne funguje aj keď povolíme záporné hodnoty resp. aj pre nejaké iné štruktúry ako reálne čísla.)

Iné štruktúry
Asi nie je ťažké si uvedomiť, že aby sa suma dala definovať, tak sme vlastne iba potrebovali vedieť sčítať konečne veľa prvkov (aby bolo definované $x_F$) a mať nejakú topológiu (aby sa dalo zmysluplne hovoriť o limite siete). Pričom asi budeme chcieť komutatívnosť - aby sa nestalo, že ak prvky množiny $F$ sčítame v inom poradí, tak dostaneme inú hodnotu pre $x_F$.

Čiže by sme vedeli niečo podobné spraviť aj v iných štruktúrach.
Napríklad vektorové priestory alebo komutatívne grupy, ak tam mám nejakú prirodzenú topológiu.
Príkladom takéhoto vektorového priestoru by mohli byť lineárne normované priestory.

Alebo by sme mohli uvažovať o nejakých funkciách s bodovou konvergenciou.
Napríklad aj na rozklady jednotky, ktoré súvisia napríklad s parakompaktnými priestormi by sa dalo pozerať aj takto. Hoci v skutočnosti takýmto pohľadom sme si situáciu možno trochu skomplikovali - tam sa pozeráme iba na hodnoty z intervalu $[0,1]$ a navyše iba na také funkcie, kde v každom bode máme iba konečne veľa nenulových hodnôt.
Ale z toho, čo sme spomenuli vyššie, vidíme že nejako by sa dal zadefinovať súčet funkcií $\sum_{i\in I} f_i(x)$ aj bez takýchto obmedzení.

V texte k predmetu Aplikácie teórie množín pre takýchto sumách hovorím o prípadoch, keď:
* Pracujeme v topologickom vektorovom priestore.
* Pracujeme v Banachovom priestore.
* Pracujeme s reálnymi číslami.
V závislosti od toho, na akú situáciu sa pozeráme, tak sa dajú prirodzene sformulovať nejaké otázky typu, či platí nejaká vec, ktorú poznáme pre sumy indexované prirodzenými číslami.

Vec, na ktorú sa takéto sumy využil v spomínanom texte, je to, že priestor $\ell_2=\ell_2(\mathbb N)$ vieme zovšeobecniť - namiesto postupností zobrať ľubovoľnú indexovú množinu a potom máme skalárny súčin
$$\langle x,y \rangle = \sum\limits_{i\in I} x_iy_i$$
pričom obmedzenie $\sum\limits_{i\in I} x_i^2<+\infty$ nám zaručí, že táto hodnota je nejaké konečné číslo.
Dá sa potom ukázať, že každý Hilbertov priestor je izomorfný s priestorom takéhoto typu - pričom kardinalita množiny $I$ je určená kardinalitou ortronormálnej bázy. (Pre separabilné Hilbertove priestory dostaneme, že každý taký priestor je izomorfný $\ell_2(\mathbb N)$; možno tento výsledok ste na niektorom kurze funkcionálnej analýzy aj spomenuli.)

Martin Sleziak · Post by **Martin Sleziak** » Thu Nov 03, 2022 11:14 am

Nejaké linky, kde sa dá prečítať niečo o takýchto veciach:

msleziak.com

Sumy cez ľubovoľnú indexovú množinu (vrátane nespočítateľnej)

Sumy cez ľubovoľnú indexovú množinu (vrátane nespočítateľnej)

Sumy cez ľubovoľnú indexovú množinu - linky