\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}$
Úlohy, ktoré sú tu, sa dajú riešiť použitím elementárnych riadkových operácií alebo úpravou na redukovaný stupňovitý tvar. (Samozrejme, nie je to jediná možnosť ako ich riešiť.)
Matice $A$ a $B$ sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď
- $A$ aj $B$ sú riadkovo ekvivalentné s tou istou redukovanou stupňovitou maticou;
- $S_A=S_B$ (t.j. ich riadky generujú rovnaký podpriestor).
- Nájdite redukované trojuholníkové matice riadkovo ekvivalentné s nasledujúcimi maticami a) nad poľom $\R$ b) nad poľom $\Z_5$
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 4 & 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 2 \\
0 & 4 & 3 \\
4 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 2 & 3 & 2\\
1 & 4 & 0 & 0\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}$ - Ak sa to dá, doplňte dané vektory na bázu vektorového priestoru $(\Z_5)^4$:
a) $(1,2,0,0)$, $(3,4,0,1)$
b) $(1,2,3,4)$, $(1,1,1,1)$, $(3,2,1,0)$
c) $(2,3,4,1)$, $(3,2,4,1)$, $(0,2,3,2)$
d) $(1,3,1,4)$, $(3,0,4,3)$, $(2,3,1,1)$ - Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc typu $2\times 2$ nad poľom $\R$:
a) $\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
4 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
0 & 5
\end{pmatrix}$ - Zistite, ktoré z daných vektorov patria do podpriestoru $[(1,4,1,0),(2,3,-2,-3), (0,2,-5,-6)]$ priestoru $\R^4$: a) $(4,11,-3,-3)$, b) $(1,0,11,12)$, c) $(3,0,4,1)$, d) $(1,-1,2,-2)$, e) $(1,-1,2,3)$.
- Zistite, či$[\vek\beta_1,\vek\beta_2]\subseteq[\vek\gamma_1,\vek\gamma_2,\vek\gamma_3]$ vo vektorovom priestor $\R^4$ nad poľom $\R$, ak $\vek\gamma_1=(1,1,5,1)$, $\vek\gamma_2=(1,0,2,1)$, $\vek\gamma_3=(2,1,0,1)$, $\vek\beta_1=(1,1,5,1)$ a $\vek\beta_2=(-1,1,6,-2)$.
- Zistite hodnosti matíc
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
0 & -1& 3 & 8 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 3 & 0
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 5 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 7
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
0 & 0 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & \ldots & 1 \\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\
4 &-2 & 5 & 1 & 7 \\
2 &-1 & 1 & 8 & 2
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 &-1 \\
2 &-1 &-3 & 4 \\
5 & 1 &-1 & 7 \\
7 & 7 & 9 & 1
\end{pmatrix}$ - Upravte danú maticu nad poľom $\R$ na redukovaný trojuholníkový tvar a určte hodnosť matice
$\begin{pmatrix}
1 & -2 & -2 & 2 \\
2 & 2 & -1 & -1 \\
3 & 3 & -4 & -4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\
1 & -3 & -5 & 0 & -7\\
7 & -5 & 1 & 4 & 1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 & 0 & -1 \\
2 & 6 & 1 & 10 & 0 & 0 \\
5 & 15 & 2 & 25 &-1 & -4 \\
3 & 9 & 1 & 15 & 0 & -1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
4 & 3 &-5 & 2 & 3 \\
8 & 6 &-7 & 4 & 2\\
4 & 3 &-8 & 2 & 7\\
4 & 3 & 1 & 2 & -5\\
8 & 6 &-1 & 4 & -6
\end{pmatrix}$ - Určte hodnosť danej matice v závislosti od parametra $c\in\R$
$A=\begin{pmatrix}
1 & c & -1 & 2 \\
2 & -1 & c & 5 \\
1 & 10 & -6 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
3 & 2 & c & 2c \\
1 & -1 & 3 & -c \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c \\
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
4 & c-1 & 2c \\
c & c & c \\
\end{pmatrix}
$ - Zistite, či priestor [(2,4,4,2,4),(3,1,1,2,2),(4,3,3,2,0)] je podpriestor priestoru [(1,1,0,1,4),(2,1,3,3,1),(3,2,1,1,3)]
a) nad $\Q$,
b) nad $\Z_5$,
c) nad $\Z_7$. - Zistite, ktoré z daných matíc sú navzájom riadkovo ekvivalentné:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
2 & 4 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
0 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 3 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
4 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$ - Nájdite bázu daného podpriestoru a určite jeho dimenziu:
a) $[(1,1,0,-1), (0,1,2,1), (1,0,1,-1), (1,1,-6,-3), (-1,-5,1,0)]$ v $\R^4$;
b) $[(1,2,2,0,1),(1,2,0,1,2),(1,2,-2,1,0)]$ v $\R^5$
c) $[(1,2,2,0,1),(1,2,0,1,2),(1,2,3,1,0)]$ v $\Z_5^5$
d) $[(1,2,2,0,1),(1,2,0,1,2),(1,2,3,1,0)]$ v $\Z_7^5$. - Zistite, pre aké hodnoty parametra $c$ sú dané vektory lineárne závislé.
a) $(-1,0,-1)$, $(2,1,2)$, $(1,1,c)$ v $\R^3$;
b) $(1,1,3)$, $(2,1,2)$, $(c,0,-c)$ v $\R^3$;
c) $(2,0,-1)$, $(3,2,0)$, $(1,-2,c)$ v $\R^3$. - Určite hodnosť matice:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
a_1 & a_2 & \ldots & a_n & a_{n+1} \\
a_1^2 & a_2^2 &\ldots & a_n^2 & a_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
%\hdotsfor{5}\\
a_1^n & a_2^n &\ldots & a_n^n & a_{n+1}^n
\end{pmatrix}
$$
ak viete, že $a_1, \ldots, a_{n+1}$ sú navzájom rôzne reálne čísla
(t.j. $a_i\neq a_j$ pre všetky $i\neq j$).
Pri riešení tejto úlohy môžete použiť fakt, že elementárne stĺpcové operácie nemenia hodnosť, resp. to, že $h(A)=h(A^T)$. (Tento fakt bude na prednáške neskôr.) Ale mala by sa dať vyriešiť aj bez použitia tejto veci.
(Táto matica sa volá Vandermondova matica (Vandermonde matrix). Môžete o nej niečo viac nájsť na rôznych miestach (základné veci napríklad na Wikipédii). Determinant tejto matice je vypočítaný v príklade 6.2.17(2) a úlohe 6.2.20(2) v LAG1.) - Zistite hodnosť matice
$$A=
\begin{pmatrix}
b & b &b-a\\
a-b&-b & a \\
a+b& b & 0
\end{pmatrix}
$$
v závislosti od hodnôt parametrov $a,b\in\mathbb R$. (Opäť, ak sa vám to bude hodiť, môžete použiť fakt, že $h(A)=h(A^T)$.)