Úloha 3.1. kvadratická forma $x_1x_2+x_2x_3$

[JitkaMuravska]

Úloha 3.1. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1x_2+x_2x_3$.

Ako prvé nájdeme symetrickú maticu $A$ takú, že:
$\vec x A \vec x^T = x_1x_2+x_2x_3$
$\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1/2 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 \\
0 & 1/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=x_1x_2+x_2x_3$

Ďalej upravíme kvadratickú formu $x_1x_2+x_2x_3$ na kanonický tvar.
Všimnime si:
$(x_1 + x_2 + x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$
Vidíme, že tam už máme členy $2x_1x_2$ a $2x_2x_3$, treba ich len vydeliť dvoma a odčítať zvyšné členy.
$(x_1+x_3)^2 = x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3$
Teda $(x_1 + x_2 + x_3)^2 - (x_1+x_3)^2 = x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3$,
ešte ostáva odčítať $x_2^2$ a dostaneme:
$(x_1 + x_2 + x_3)^2 - (x_1+x_3)^2 - x_2^2 = 2x_1x_2 + 2x_2x_3$,
keď ľavú aj pravú stranu vydelíme dvoma vyjde nám želaná kvadratická forma na pravej strane a jej kanonický tvar na ľavej:
$((x_1 + x_2 + x_3)^2)/2 - ((x_1+x_3)^2)/2 - (x_2^2)/2 = x_1x_2 + x_2x_3$
$((x_1 + x_2 + x_3)/\sqrt2)^2 - ((x_1+x_3)/\sqrt2)^2 - (x_2/\sqrt2)^2 = x_1x_2 + x_2x_3$
$(x_1/\sqrt2 + x_2/\sqrt2+ x_3/\sqrt2)^2 - (x_1/\sqrt2+x_3/\sqrt2)^2 - (x_2/\sqrt2)^2 = x_1x_2 + x_2x_3$

Označme $y_1 = x_1/\sqrt2 + x_2/\sqrt2+ x_3/\sqrt2$, $y_2= x_1/\sqrt2+x_3/\sqrt2$, $y_3=x_2/\sqrt2$
Potom sa dá kvadratická forma $x_1x_2+x_2x_3$ prepísať ako
$y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$

Z toho dostávame diagonálnu maticu $D =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}$
a maticu $ P =
\begin{pmatrix}
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 0 \\
1/\sqrt2 & 0 & 1/\sqrt2 \\
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 0
\end{pmatrix}$
Pričom platí: $\vec y = \vec x P$

Má platiť $A = PDP^T$, Overíme:

$PDP^T =
\begin{pmatrix}
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 0 \\
1/\sqrt2 & 0 & 1/\sqrt2 \\
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 \\
1/\sqrt2 & 0 & 1/\sqrt2 \\
0 & 1/\sqrt2 & 0 \\
\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}
1/\sqrt2 & -1/\sqrt2 & 0 \\
1/\sqrt2 & 0 & -1/\sqrt2 \\
1/\sqrt2 & -1/\sqrt2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 \\
1/\sqrt2 & 0 & 1/\sqrt2 \\
0 & 1/\sqrt2 & 0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & 1/2 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 \\
0 & 1/2 & 0
\end{pmatrix} = A
$

[Martin Sleziak]

Označme $y_1 = x_1/\sqrt2 + x_2/\sqrt2+ x_3/\sqrt2$, $y_2= x_1/\sqrt2+x_3/\sqrt2$, $y_3=x_2/\sqrt2$
Potom sa dá kvadratická forma $x_1x_2+x_2x_3$ prepísať ako
$y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$
...
a maticu $ P =
\begin{pmatrix}
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 0 \\
1/\sqrt2 & 0 & 1/\sqrt2 \\
1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 & 0
\end{pmatrix}$
Pričom platí: $\vec y = \vec x P$

Problém s týmto riešením je ten, že sme takto nedostali regulárnu transformáciu premenných.

Napríklad ak sa pozrieme na maticu $P$, tak prvý a tretí riadok je rovnaký - táto matica nie je regulárna.

Alebo ak sa pozeráme na jednotlivé premenné, tak máme
\begin{align*}
\sqrt2y_1&=x_1+x_2+x_3\\
\sqrt2y_2&=x_1+x_3\\
\sqrt2y_3&=x_2
\end{align*}
a teda $y_1=y_2+y_3$. Teda tie premenné nie sú nezávislé. (Vieme $y_3$ vyjadriť pomocou $y_1$ a $y_2$.)

Tiež napíšem to, že ak matica $P$ je regulárna, tak určite dostaneme $h(D)=h(PAP^T)=h(A)=2$. Teda na diagonále sa aspoň raz vyskytne nula.

[JitkaMuravska]

OPRAVA:

Kvadratickú formu $x_1x_2 + x_2x_3$ upravíme na kanonický tvar:
$(\frac{x_2+x_1+x_3}{2})^2 - (\frac{x_2-x_1-x_3}{2})^2$.

Potom keď označíme $y_1 = \frac{x_2+x_1+x_3}{2}$, $y_2 = \frac{x_2-x_1-x_3}{2}$ a zavedieme novú premennú $y_3$. Možeme ekvivaletne prepísať kvadratickú formu ako $y_1 - y_2 + 0 \cdot y_3$

Z toho dostávame diagonálnu maticu $D =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

Kedže pred $y_3$ je koeficient $0$, možeme si za $y_3$ zvoliť výraz s ľubovoľnými koeficientami pri $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Aby vyšla matica P regulárna, zvoľme si napríklad koeficienty $0$, $0$ a $1$.

Potom dostávame regulárnu maticu a maticu $ P =
\begin{pmatrix}
1/2 & -1/2 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0 \\
1/2 & -1/2 & 1
\end{pmatrix}$
pričom platí: $\vec y = \vec x P$.

Má platiť $A = PDP^T$, Overíme:

$PDP^T =
\begin{pmatrix}
1/2 & -1/2 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0 \\
1/2 & -1/2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 & 1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 & 0 \\
1/2 & -1/2 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 & 1/2 \\
-1/2 & 1/2 & -1/2 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & 1/2 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 \\
0 & 1/2 & 0 \\
\end{pmatrix} = A
$

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku, značím si 1 bod.
Pridám linku na Symbolab, kde je ten istý maticový výpočet.

V starších riešeniach sa dá napríklad pozrieť aj postup cez riadkové a stĺpcové úpravy:
viewtopic.php?t=1679
viewtopic.php?t=251