Úloha 5.1. Podobnosť matíc

[Andrej Ravinger]

Úloha 5.1. Sú matice
$A = \begin{pmatrix}
1&0&...&0&0\\
0&2&...&0&0\\
0&0&...&n-1&0 \\
0&0&...&0&n
\end{pmatrix}$ a
$B = \begin{pmatrix}
n&0&...&0&0\\
0&n-1&...&0&0\\
0&0&...&2&0 \\
0&0&...&0&1
\end{pmatrix}$ podobné? Ak áno, nájdite maticu $P$ takú, že $B=PAP^{-1}$.

Charakteristický polynóm oboch matíc je $ch_A(t) = ch_B(t) = (1-t)(2-t)...(n-1-t)(n-t)$, korene a vlastné čísla sú $1, 2,...n-1,n$.
Máme $n$ rôznych vlastných čísel, takže sú obe matice podobné s diagonálnou maticou obsahujúcou tieto čísla. Jednou z nich je aj matica $A$.
$P$ nájdeme riešením homogénnych sústav rovníc $(B-tI)^T\vec\alpha^T = \vec 0^T$ pre $t=1,...,n$
$\left(
\begin{array}{ccccc|c}
n-t & ... & 0 & ...& 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & ... & 0 & 0 \\
0 & ... & t-t & ... & 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & ... & 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & ... & 1-t & 0 \\
\end{array}\right) \sim
\left(\begin{array}{ccccccc|c}
1 & ... & 0 & 0 & 0 & ...& 0 & 0 \\
0 & ... & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & 0 & 1 & ... & 0 & 0 \\
0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0 \\
\end{array}\right)$
Riešením pre vlastné číslo $t$ je $[(0,...,0,1,0,...,0)]$, kde $1$ je na $n+1-t$-tej pozícii.
Pre diagonálnu maticu $A$ je $P = \begin{pmatrix}
0&0&...&0&1\\
0&0&...&1&0\\
0&1&...&0&0 \\
1&0&...&0&0
\end{pmatrix}$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku, značím si 1 bod.

Poznamenám, že matica $P$ zodpovedá zmene poradia súradníc na opačnú - čo sedí s tým, v akom vzťahu sú tieto dve matice. (Pri substitúcii $y_1=x_n, y_2=x_{n-1}, \dots, y_n=x_1$ zo zobrazenia určeného maticou $A$ dostaneme zobrazenie určené maticou $B$. Takáto zmena premenných zodpovedá presne matici $P$.)

Nejaké komentáre sa dajú nájsť aj v starších riešeniach:
viewtopic.php?t=1121
viewtopic.php?t=257
viewtopic.php?t=662