Úloha 2.5. Ortonormálna báza S = [(1,−1,−2,1),(1,0,−1,2),(1,1,0,3)]

[Lukas Hudcovsky]

Úloha 2.5. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S = [(1,−1,−2,1),(1,0,−1,2),(1,1,0,3)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^{4}$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Najprv si vektory generujúce S vložíme do matice, ktorú upravíme na trojuholníkový redukovaný tvar, čím dostaneme bázu priestoru S.

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
1 & -1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Takže sme dostali bázu priestoru $S = [(1,0,−1,2),(0,1,1,1)]$. Označme $\vec\alpha_{1} = (1,0,−1,2)$ a $\vec\alpha_{2} = (0,1,1,1)$. Teraz pomocou Gram-Schmidtovho ortogonalizačného procesu vyrobíme ortonormálnu bázu.

$\vec\beta_{1} = \vec\alpha_{1} = (1,0,−1,2)$
$\vec\beta_{2} = \vec\alpha_{2} + c_{2,1}\cdot\vec\alpha_{1}$

$c_{2,1} = -\frac{\langle\vec\alpha_{2}, \vec\beta_{1}\rangle}{\langle\vec\beta_{1}, \vec\beta_{1}\rangle} = -\frac{\langle(0,1,1,1), (1,0,−1,2)\rangle}{\langle(1,0,−1,2), (1,0,−1,2)\rangle} = -\frac{1}{6}$

$\vec\beta_{2} = (0,1,1,1) -\frac{1}{6}(1,0,−1,2) = (-\frac{1}{6}, 1, \frac{7}{6}, \frac{2}{3}) = \frac{1}{6}(-1,6,7,4)$

Teraz už máme ortogonálnu bázu $\vec\beta_{1} = (1,0,−1,2)$ a $\vec\beta_{2} = \frac{1}{6}(-1,6,7,4)$. Na to aby sme dostali ortonormálnu bázu stačí každý vektor predeliť jeho veľkosťou.

$\vec\gamma_{1} = \frac{\vec\beta_{1}}{\left| \vec\beta_{1}\right|} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,0,−1,2)$
$\vec\gamma_{2} = \frac{\vec\beta_{2}}{\left| \vec\beta_{2}\right|} = \frac{6}{\sqrt{102}}\cdot\frac{1}{6}(-1,6,7,4) = \frac{1}{\sqrt{102}}(-1,6,7,4)$

$S = [\frac{1}{\sqrt{6}}(1,0,−1,2), \frac{1}{\sqrt{102}}(-1,6,7,4)]$

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.
Zeditoval som post - upravil som zátvorky pri skalárnom súčine na \langle a \rangle: $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle$ vs. $<\vec\alpha,\vec\beta>$.
(A keď som to už editoval, tak som zmenil aj Grahm na Gram.)

Tu sa dajú pozrieť staršie riešenia:
viewtopic.php?t=1120
viewtopic.php?t=202
Napríklad vidno to, že ak použijem inú bázu (alebo tie isté bázové vektory v inom poradí), tak Gram–Schmidtov proces vráti iné vektory. (Asi je dosť jasné, že ten istý podpriestor má veľa rôznych ortonormálnych báz, ak má dimenziu aspoň 2.)