Sústava s parametrom

[Martin Sleziak]

Máme danú sústavu lineárnych rovníc nad poľom $\mathbb R$ s parametrom $a\in\mathbb R$.
\begin{align*}
2x-6y-4z&=16\\
ax -y-4z&=6\\
2x-3y-4z&=10
\end{align*}
a) Zistite ako vyzerá množina všetkých riešení tejto sústavy pre $a=2$.
b) Zistite ako vyzerá množina všetkých riešení tejto sústavy pre $a\in\mathbb R\setminus\{2\}$.
Uveďte aj výpočty, ktorými ste sa dostali k riešeniu.

Zadanie bolo sformulované tak, že som tam nenápadne prezradil, ktorá hodnota parametra asi môže robiť problémy. Ale aj keby sme to nemali v zadaní prezradené, môžeme jednoducho začať počítať a v problematických krokoch (napríklad ak delíme výrazom obsahujúcim parameter) si rozmyslíme, pre aké hodnoty parametra $a$ je táto úprava platná.$\newcommand{\vys}[1]{\underline{\underline{#1}}}$

$\left(\begin{array}{ccc|c}
2 &-6 &-4 &16 \\
a &-1 &-4 & 6 \\
2 &-3 &-4 &10
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 &-3 & 0 & 6 \\
a &-1 &-4 & 6 \\
2 &-3 &-4 &10
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 0 &-2 \\
a & 0 &-4 & 4 \\
2 & 0 &-4 & 4
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 0 &-2 \\
a-2& 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 &-2 & 2
\end{array}\right)
$

Ak $a\ne2$, tak ďalšími úpravami dostaneme:
$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 0 &-2 \\
a-2& 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 0 &-2 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 1 &-1
\end{array}\right)$
(V jednom kroku sme delili výrazom $a-2$, ktorý je nenulový, takže je to v poriadku.)

Vidíme, že pre $a\ne2$ máme jediné riešenie, množina riešení je $\vys{\{(0,-2,-1)\}}$

Ak $a=2$, tak naša sústava je ekvivalentná s touto sústavou:
$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 0 &-2 \\
1 & 0 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 &-2 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-2
\end{array}\right)
$

Teda sme dostali rovnice
\begin{align*}
x-2z&=2\\
y&=-2
\end{align*}
a teda ak $z=t$ je parameter, tak mám $x=2+2t$. Čiže množina riešení je $\vys{\{(2+2t,-2,0); t\in\mathbb R\}}$.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Hodnota parametra} & \text{Množina riešení} \\\hline
a=2 & R=\{(0,-2,-1)\} \\\hline
a\in\mathbb R\setminus \{2\} & \{(2+2t,-2,t); t\in\mathbb R\} \\\hline
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Poznámka k zápisom

V odovzdaných úlohách som si prečítal zápisy množiny riešení ako napríklad:

$R(S)=\{0,-2,-1\}$
$R(S)=(0,2,-1)$

Alebo v časti, kde sme mali parameter

$R(S)=\{2+2t,-2,t; t\in\mathbb R\}$
$R(S)=(2+2t,-2,t)$
$R(S)=\{(2+2t,-2,t)\}$

V každom zo spomenutých prípadov je tento zápis z nejakého dôvodu nesprávny. (Aj keď mi je jasné, čo ste mali na mysli.)

• Množina riešení by mala byť množina usporiadaných trojíc, t.j. nejaká podmnožina množiny $\mathbb R^3$.
• Množina $\{0,2,-1\}$ je trojprvková množina reálnych čísel, nie je to množina usporiadaných trojíc.
• Zápis $\{2+2t,-2,t; t\in\mathbb R\}$ je len iný zápis pre množinu reálnych čísel, opäť to nie je množina usporiadaných trojíc.
• $(0,2,-1)$ je usporiadaná trojica, nie množina usporiadaných trojíc.
• Pri zápise $\{(2+2t,-2,t)\}$ je problém ten, že nie je jasné, pre aké hodnoty $t$ takéto trojice berieme.

Ak náhodou nie je jasné, prečo v jednom zo spomenutých prípadov, hovorím, že je to iný zápis množiny reálnych čísel, t.j. že
$$\{2+2t,-2,t; t\in\mathbb R\}=\mathbb R,$$
tak si treba uvedomiť, že:
* Pre každé $t\in\mathbb R$ sú $2+2t$ aj $t$ reálne čísla, t.j. množina na ľavej strane tejto rovnosti naozaj obsahuje iba reálne čísla.
* Súčasne obsahuje všetky reálne čísla, konkrétne tam máme každé reálne číslo zapísané ako $t$.
Podobne by sme vedeli zdôvodniť napríklad
\begin{align*}
\{2+2t; t\in\mathbb R\}&=\mathbb R\\
\{t; t\in\mathbb R\}&=\mathbb R
\end{align*}