Cvičenia ZS, jeseň 2023

[jaroslav.gurican]

Bodovanie za cvičenia.

Spolu máte možnosť získať 40 bodov a možno ešte naviac 5 bodov za riešenia úloh na fóre (za každé správne "prvé" riešenie úlohy 1 bod, najviac 5 bodov pre jedného človeka).

10 body je za 5 najlepšie hodnotených domácich úloh (za jednu DÚ môzete získať najviac 2 body). Ak odovzdáte menej ako 5 domácich úloh, tak sa zoberie súčet všetkých vami odovzdaných d.ú.

15 + 15 bodov bude za písomky (budú teda dve), ktoré budú z cvičení (reálne sa asi nebudú písať na cvičenia, ale vo večernom čase - také časy sú na takéto písomky určené)



DU 1 (súbor du01.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 2. 10. 2023

Riešenia DÚ 1
Úloha 1
Riešenie: keďže má platiť, že $f\circ g=id_{\mathbb N}$, je $f$ ľavé inverzné zobrazenie ku $g$, resp. $g$ pravé inverzné zobrazenie ku $f$, vlastnosť $g\circ f\ne id_{\mathbb N}$ zase hovorí, že $f$ NIE je pravé inverzné zobrazenie ku $g$, resp. $g$ NIE je ľavé inverzné zobrazenie ku $f$.

Aby toto mohlo fungovať, $f, g$ nesmú byť bijekcie, ale keďže ku $f$ existuje pravé inverzné zobrazenie, musí to byť surjektívne zobrazenie (a nesmie byť injektívne), keďže ku $g$ existuje ľavé inverzné zobrazenie, $g$ musí byť injektívne (a nesmie byť surjektívne). Na základe takejto analýzy je ľahké nájsť takú dvojicu, napr.
$g$ dané vzorcom $g(n)=n+1$ (pre $n\in \mathbb N$) a $f$ zadané pre dva prípady nasledovne
$$
f(n)=\begin{cases}
n-1 & \text{ ak }n > 0 \\
0 & \text{ ak }n = 0
\end{cases}
$$
Platí, že $f,g\colon \mathbb N\to \mathbb N$.
Keďže $g$ nie je surjektívne, $g\circ f$ nie je surjektívne a preto $g\circ f\ne id_{\mathbb N}$, lebo $id_{\mathbb N}$ je surjektívne. Keď sa vám zdá tento argument byť príliš abstraktný, stačí vypočítať, že $g\circ f(0)=g(f(0))=g(0)=0+1=1$ a preto $g\circ f\ne id_{\mathbb N}$.

Tiež vieme, že pre $n\in \mathbb N$ je $n+1> 0$ a preto pre $n\in \mathbb N$ je $f\circ g(n)=f(g(n))=f(n+1)=(n+1)-1=n$, t.j. $f\circ g=id_{\mathbb N}$.

(ku každému injektívnemu a nesurjektívnemu obrazeniu $g\colon \mathbb N\to \mathbb N$ by ste mali vedieť nájsť vhodné $f$ - dokonca nekonečne veľa takých zobrazení $f$, ak by bolo treba, rovnako ku každému surjektívnemu a neinjektívnemu zobrazeniu $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ by ste mali vedieť nájsť vhodné zobrazenie $g$ - dokonca nekonečne veľa takých zobrazení $g$, ak by bolo treba, na cvičeniach sme si ukazovali, ako to robiť)


Úloha 2
Riešenie: asi najjednoduchší príklad je $f$ také, že $f(0)=1, f(1)=0$ a pre $n\ge 2$ je $f(n)=n$, inak zapísané
$$
f(n)=\begin{cases}
1 & \text{ ak }n = 0 \\
0 & \text{ ak }n = 1 \\
n & \text{ inak (t.j. ak } n\ge 2\text{)}
\end{cases}
$$
Očividne, $f\ne id_{\mathbb N}$. Tiež $f\circ f(0)=f(f(0))=f(1)=0$, $f\circ f(1)=f(f(1))=f(0)=1$ a pre $n\ge 2$ je $f\circ f(n)=f(f(n))=f(n)=n$, teda $f=id_{\mathbb N}$, čiže $f$ spĺňa zadanie úlohy.

Úloha 3
Riešenie: Z analýzy a riešenia úlohy 1 je vidieť, že (po prehodení $f$ a $g$) máme aj riešenie tejto úlohy. Zoberme teda (prehodíme $f$ a $g$ oproti riešeniu v 1)
$f$ dané vzorcom $f(n)=n+1$ (pre $n\in \mathbb N$) a $g$ zadané pre dva prípady nasledovne
$$
g(n)=\begin{cases}
n-1 & \text{ ak }n > 0 \\
0 & \text{ ak }n = 0
\end{cases}
$$
Vieme, že $f,g\colon \mathbb N\to \mathbb N$, v úlohe 1 sme ukázali, že $g\circ f=id_{\mathbb N}$, t.j. $g\circ f$ je injekcia, a je vidieť, že $g$ nie je injekcia (lebo $g(0)=0=g(1)$).

Každé riešenie úlohy 1 (po prehodení $f$ a $g$) "dá" riešenie úlohy 3 (úloha 3 ale má aj iné riešenia).


Úloha 4
Riešenie: Z analýzy a riešenia úlohy 1 je vidieť, že (po prehodení $f$ a $g$) máme aj riešenie tejto úlohy. Zoberme teda (prehodíme $f$ a $g$ oproti riešeniu v 1)
$f$ dané vzorcom $f(n)=n+1$ (pre $n\in \mathbb N$) a $g$ zadané pre dva prípady nasledovne
$$
g(n)=\begin{cases}
n-1 & \text{ ak }n > 0 \\
0 & \text{ ak }n = 0
\end{cases}
$$
Vieme, že $f,g\colon \mathbb N\to \mathbb N$, v úlohe 1 sme ukázali, že $g\circ f=id_{\mathbb N}$, t.j. $g\circ f$ je surjekcia, a je vidieť, že $f$ nie je surjekcia (lebo na 0 sa zobrazením $f$ nič nezobrazí).

Každé riešenie úlohy 1 (po prehodení $f$ a $g$) "dá" riešenie úlohy 4 (úloha 4 ale má aj iné riešenia).

[jaroslav.gurican]

DU 2 (súbor du02.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 16. 10. 2023


Prvá písomka bude 25. 10. o 18.10 v F1. Čo sa bude môcť vyskytnúť na tejto písomke si povieme na najbližších cvičeniach.

[jaroslav.gurican]

DU 3 (súbor du03.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 6. 11. 2023

[jaroslav.gurican]

DU 4 (súbor du04.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 12. 11. 2023. Tentokrát je na riešenie viac času, pretože 17. 11. je štátny sviatok a preto v ten deň nie sú cvičenia.

[jaroslav.gurican]

DU 5 (súbor du05.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 27. 11. 2023.

[jaroslav.gurican]

DU 6 (súbor du06.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 4. 12. 2023.
Email o tom, že som ju uverejnil som poslal 4. 12., zabudol som to napísať sem na fórum.   

[jaroslav.gurican]

Bodovanie na fóre

Prispievať riešenými úlohami na fóre s tým, že za riešenia dostanete aj body je možné do nedele 17. 12. 2023 (23:59:59).
Niekedy potom kolega odkryje riešenia z minulého roku.

[jaroslav.gurican]

DU 7 (súbor du07.pdf na stránke J Gurican) som uverejnil 11. 12. 2023.