Úloha 2.3 - grupa a zobrazenie f(x) = a * x

[kamila_souckova]

Úloha 2.3. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je
bijekcia.

Vieme, že $(G,\circ)$ je grupa, teda platí:

• $ \forall a, b, c \in G\colon (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) $ ($\circ$ je asociatívna)
• $ \exists e \in G\colon \forall a \in G\colon a \circ e = e \circ a = a $ (existuje neutrálny prvok)
• $ \forall a \in G\colon \exists a^{-1}\colon a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e $ (pre každý prvok z $G$ existuje inverzný prvok)

Treba dokázať, že $f$ je bijektívne, teda že je injektívne a surjektívne.

injektívne: $ \forall p, q \in G\colon f(p) = f(q) \Rightarrow p = q $
$ a \circ p = a \circ q $
$ a^{-1} \circ (a \circ p) = a^{-1} \circ (a \circ q) $
$ (a^{-1} \circ a) \circ p = (a^{-1} \circ a) \circ q $
$ e \circ p = e \circ q $
$ p = q $

surjektívne: $ \forall y \in G\colon \exists x \in G\colon f(x) = y $
Majme ľubovoľné $y \in G$. Hľadáme $x$ také, že $f(x) = y$, teda $a \circ x = y$. Zvoľme $x = a^{-1} \circ y$, potom $a \circ x = a \circ (a^{-1} \circ y) = (a \circ a^{-1}) \circ y = e \circ y = y$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Pridám ale ešte jednu možnosť ako sa úloha dala riešiť.

Vieme, že zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď k nemu existuje inverzné. Čiže by nám stačilo ukázať, že existuje inverzné zobrazenie k $f_a$. Vedeli by ste uhádnuť, aké zobrazenie je inverzné k $f_a$?

Spoiler:

$(f_a)^{-1}=f_{a^{-1}}$

Na to, aby sme overili, či to je skutočne inverzné zobrazenie, môže pomôcť uvedomiť si, že $f_a\circ f_b=f_{a*b}$. (Grupovú operáciu budem označovať $*$, aby sa to neplietlo so skladaním zobrazení.)

Spoiler:

$f_a\circ f_b(x)=f_a(f_b(x))=a*(b*x)=(a*b)*x=f_{a*b}(x)$

Keď už vieme uvedený vzťah, vcelku ľahko sa overia podmienky z definície inverzného zobrazenia.

Spoiler:

Ak chcem skontrolovať, či $f_{a^{-1}}$ je skutočne inverzné zobrazenie k $f_a$, tak vlastne máme skontrolovať, či $f_a\circ f_{a^{-1}} = f_{a^{-1}}\circ f_a=id_G$.
Najprv si uvedomme, že $f_e=id_G$. To vidno z toho, že $f_e(x)=e*x=x=id_G(x)$.
Teraz už ľahko dostaneme $f_a\circ f_{a^{-1}}=f_{a*a^{-1}}=f_e=id_G$.
Podobne $f_{a^{-1}} \circ f_a = f_{a^{-1}*a}=f_e=id_G$.

[Martin Sleziak]

Ešte som azda mohol spomenúť aj to, že keď sa na pozrieme na to, čo znamená injektívnosť zobrazenia $f_a$, tak to je táto implikácia:
$ax=ay \Rightarrow x=y$
To je presne jeden zo zákonov o krátení. (Z prednášky už vieme, že zákony o krátení plati v každej grupe.)