Prednášky LS 2023/24 - teória čísel

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1931
viewtopic.php?t=1771
viewtopic.php?t=1491
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416
(Keďže tento semester si zapísali tento predmet študenti mimo odboru matematika, tak možno trochu zmeníme čo budeme preberať oproti tomu, ako je to zvyčajne.)

[Martin Sleziak]

1. týždeň semestra prednáška nebola.

1. prednáška (1.3.):
Asymptotická hustota. Definícia asymptotickej hustoty. , základne vlastnosti: Konečná aditívnosť, monotónnosť, doplnky.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (8.3.):
Asymptotická hustota.
Rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu.
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Pripomenul som, že na teórii čísel 1 sme sa stretli s tým, že platí $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}n=0$, čo vlastne znamená $d(\mathbb P)=0$.
Vlastne to súviselo s $\liminf \varphi(n)/n=0$, spomenuli sme aj $\limsup \varphi(n)/n=1$

A pomocou Eulerovej funkcie sme odvodili aj to, že $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}n=0$. (Túto vec vieme odvodiť napr. aj z Čebyševovej nerovnosti alebo z prvočíselnej vety. Argument, ktorý sme videli, sa dá nájsť v texte na konci podkapitoly 5.1.)
Súčasne sme ukázali pomocné tvrdenie o nekonečnom súčine: Zo $\sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty.$ vyplýva $\prod_{k=1}^\infty (1-a_k)=0.$
V podstate sme takto odvodili aj to, že $\liminf_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}n=1$; aj keď túto vec som iba spomenul - hlavne pre tých, ktorí poznajú pojem limes superior a limes inferior.

Ukázali sme si vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$; ale jednoduchšiu verziu, kde používame $A_p=\{n\in A; p\mid n\}$. (V texte na stránke sa dá nájsť dôkaz analogickej vety pre $A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}$.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou toho sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856

[Martin Sleziak]

3. prednáška (15.3.)
Logaritmická hustota.
Chvíľu sme sa rozprávali o harmonických číslach a Eulerovej konštante.
Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si nerovnosti medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.
Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.

Preskočil som časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.
Takisto som preskočil aj štatistickú konvergenciu - k nej sa vrátime na konci semestra, ak na to zvýši čas.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (5.4.)
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne diofantické rovnice tvaru $ax+by=c$.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (12.4.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ, ireducibilné prvky). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. Fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu.
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. Zadefinovali sme $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$, t.j. gaussovské a eisensteinovské celé čísla. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.
Okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ a pytagorovské trojice. Ešte sme videli, ako sa okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ dá použiť na to, aby sme našli primitívne pytagorovské trojice.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (26.4.)

Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$ v $\mathbb Z$. (Resp. netriviálnych riešení $x^3+y^3=uz^3$ v $\mathbb Z[\omega]$, kde $u$ je nejaký deliteľ jednotky.)

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (3.5.)
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (10.5.)
Súčty štyroch štvorcov. Ukázali sme si Eulerovu identitu. Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov. (Pripomenul som aj podobnú reprezentáciu pre komplexné čísla: viewtopic.php?t=571)
Dokázali sme, že každé prirodzené číslo sa dá zapísať ako súčet 4 štvorcov celých čísel. (Lagrangeova veta.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (17.5.)
Mriežky. Zadefinovali sme mriežku a fundamentálnu oblasť. Dokázali sme že ľubovoľné dve fundamentálne oblasti tej istej mriežky majú rovnaký objem.
Minkowského veta a súčty štvorcov. Dokázali sme Minkowského vetu.
Pomocou Minkowského vety sme dokázali výsledky o vyjadriteľnosti prvočísel v tvare súčtu dvoch resp. štyroch štvorcov.

V dôkaze o štyroch štvorcoch sme používali objem 4-rozmernej gule. Nejaké odvodenie čomu sa rovná sa dá nájsť v poznámkach k prednáške. (Takéto odvodenie sme si aj naznačili - aj keď nie celkom dokončili.) Pridám aj linku na článok na Wikipédii: Volume of an n-ball.