Racionálne korene polynómu $f(x)=6x^4-x^3+11x^2-2x-2$

[Martin Sleziak]

Pre polynóm $f(x)=6x^4-x^3+11x^2-2x-2$ nad poľom $\mathbb R$:
a) Overte, že $\frac12$ je koreňom tohto polynómu.
b) Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)$ a ich násobnosť.

V časti a) stačí použiť Hornerovu schému.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 6 & -1 & 11 & -2 & -2 \\ \hline
\frac12 & & 3 & 1 & 6 & 2 \\ \hline
& 6 & 2 & 12 & 4 & \boxed{0} \\ \hline
\end{array}$$

Tým sme zistili, že $\frac12$ je skutočne koreň a tiež sme dostali:
\begin{align*}
f(x)&=6x^4-x^3+11x^2-2x-2\\
&=(x-\frac12)(6x^3+2x^2+12x+4)\\
&=2(x-\frac12)(3x^3+x^2+6x+2)
\end{align*}

Keď hľadáme ďalšie korene, tak stačí už pracovať s polynómom $g(x)=3x^3+x^2+6x+2$.
Získali sme dve výhody: Pracujeme s polynómom nižšieho stupňa. A pretože sa dala vyňať dvojka, máme nižšie koeficienty.

Teda nám stačí skúšať racionálne čísla tvaru $\frac pq$ pre $p\mid 2$ a $q\mid 3$.

Takisto si o polynóme $g(x)$ môžeme všimnúť, má všetky koeficienty kladné. Čiže pre $x\ge0$ máme $g(x)\ge2$. Stačí už teda skúšať iba záporné čísla.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 3 & 1 & 6 & 2\\ \hline
-\frac13& & -1 & 0 & -2 \\ \hline
& 3 & 0 & 6 & \boxed{0} \\ \hline
\end{array}$$

Dostali sme teda $g(x)=(x+\frac13)(3x^2+6)=3(x+\frac13)(x^2+2)$ a
\begin{align*}
f(x)&=6(x-\frac12)(x+\frac13)(x^2+2)
&=(2x-1)(3x+1)(x^2+2)
\end{align*}