Priamy súčin grúp

[Martin Sleziak]

Toto je vec, ktorú poznáte aj z prednášky - ale keďže to súvisí s nejakými úlohami, ktoré sme spomínali teraz, tak sa mi hodí to stručne spomenúť aj tu na fóre.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Spoiler:

6:45 Príklad 5: Priamy súčin grúp: z grúp $(G,*_G)$ a $(H,*_H)$ dostaneme $(G\times H,*_{G\times H})$, kde $(x,y)*_{G\times H}(x',y')=(x*_Gx',y*_Hy')$.
11:40 Overenie, že dostaneme grupu

Máme teda takúto situáciu:
$(G,*_G)$ a $(H,*_H)$ sú grupy. Na množine $G\times H$ definujeme binárnu operáciu predpisom
$$(x,x')*(y,y')=(x*_G y, x*_H y')$$
pre ľubovoľné $x,y\in G$, $x',y'\in H$.
Tvrdíme, že potom takto dostaneme grupu, túto grupu voláme priamy súčin grúp $G$ a $H$.

Ako prvé si môžeme uvedomiť, že to je skutočne binárna operácia, t.j. že uvedený predpis naozaj určuje prvok z $G\times H$.

Spoiler:

Ak $(x,x'),(y,y')\in G\times H$, znamená to, že $x,y\in G$ a $x',y'\in H$.
Vďaka tomu, že $*_G$ a $*_H$ sú binárne operácie na $G$ resp. na $H$ máme
\begin{align*}
x *_G y &\in G\\
x' *_H y' &\in H
\end{align*}
a teda
$$(x,y)*(x',y')=(x*_G y, x'*_H y') \in G\times H.$$

Mali by sme overiť aj ostatné podmienky z definície grupy - úmyselne som ich skryl, aby ste si ich mohli vyskúšať sami.

Asociatívnosť:

Spoiler:

\begin{gather*}
(x,x')*((y,y')*(z,z'))=(x,x')*(y*_G z, y'*_H z')=(x*_G (y *_G z), x'*_H (y' *_H z'))\\
((x,x')*(y,y'))*(z,z')= (x*_G y, x'*_H y')*(z,z') = ((x*_G y) *_G z, (x'*_H y') *_H z')
\end{gather*}
Na základe asociatívnosti operácie $*_G$ vidíme, že prvé súradnice sa zhodujú. To isté môžeme povedať o druhých súradniciach vďaka asociatívnosti operácie $*_H$.

Neutrálny prvok:

Spoiler:

Ak $1_G$ je neutrálny prvok v $G$ a $1_H$ je neutrálny prvok v $H$ tak máme
\begin{align*}
(1_G,1_H)*(x,y)=(1_G *_G x, 1_H *_H y) &= (x,y)\\
(x,y)*(1_G,1_H)=(x *_G 1_G, y *_H 1_H ) &= (x,y)
\end{align*}
To znamená, že dvojica $(1_G,1_H)$ je neutrálny prvok operácie $*$.

Inverzný prvok:

Spoiler:

Síce inverzný prvok v $G$ a $H$ nie je ten istý - budem ale požívať v oboch prípadoch označenie $\inv a$. (Z kontextu je snáď vždy jasné, či myslím inverzný prvok v prvej alebo v druhej grupe.)
Pre $(x,y)\in G\times H$ je inverzný prvok $(\inv x,\inv y)$. Stačí skontrolovať tieto rovnosti:
\begin{align*}
(\inv x,\inv y)*(x,y)=(\inv x *_G x, \inv y *_H y) &= (1_G,1_H)\\
(x,y)*(\inv x,\inv y)=(x *_G \inv x, y *_H \inv y) &= (1_G,1_H)
\end{align*}

Tiež si môžeme rozmyslieť, že ak $G$ aj $H$ sú komutatívne, tak $G\times H$ je tiež komutatívna.

Spoiler:

$$(x',y')*(x,y)=(x' *_G x, y' *_H y) \overset{*}= (x *_G x', y *_H y') = (x,y)*(x',y')$$
Rovnosť označená hviezdičkou je miesto, kde sme využili komutatívnosť operácií $*_G$ a $*_H$.

[Martin Sleziak]

Takúto konštrukciu vieme zovšeobecniť aj na súčin nekonečne veľa grúp.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Pretože s karteziánskym súčinom nekonečne veľa množín ste zatiaľ nepracovali, nebudem tu o tom hovoriť.
Ale spomeniem aspoň príklad, na ktorý sa dá pozerať ako na súčin veľa kópií ten istej grupy.

Majme ľubovoľnú množinu $M$ a nejakú grupu $(G,*)$.
Zoberme si množinu všetkých zobrazení z $M$ do $G$, t.j. $$G^M=\{f\colon M\to G\}.$$

Spoiler:

Aspoň trochu sa to snáď v nejako zmysle podobá na súčin $G\times G \times G \times \dots$.
Konkrétne si môžeme uvedomiť, že pre každé $x\in M$ máme jednoznačne určenú hodnotu $f(x)$, t.j. akoby "$x$-tú súradnicu".
A obrátene, ako poznáme všetky funkčného hodnoty (niečo ako "súradnice"), tak $f$ je jednoznačne určené

Pre $f,g\in G^M$ definujeme $f\odot g\colon M\to G$ predpisom
$$(f\odot g)(x)= f(x) * g(x).$$
(Pričom $x$ je ľubovoľný prvok množiny $M$.)

Možno by bolo prirodzenejšie označiť aj novú operáciu ako $*$, keďže sme ju dostali z operácie $*$ na $G$. (A bežne takéto niečo v mnohých situáciách budeme robiť.)
Ale tu som ich zatiaľ označil rôzne, nech je úplne jasné, o ktorej z týchto dvoch operácií práve hovorím.

Takto sme dostali binárnu operáciu $\odot$ na množine $G^M$.
Azda aspoň trochu vidno, že sa to v nejakom zmysle podobá na to, ako sme definovali priamy súčin dvoch grúp. Hodnoty pre $f\odot g$ sme dostali tak, že na "x-tej súradnici" sme použili operáciu $*$ pre "x-tú súradnicu" $f$ a $g$.

Opäť vieme overiť podmienky z definície grupy.

Asociatívnosť:

Spoiler:

Pre ľubovoľné $f,g,h\colon M\to X$ platí:
\begin{gather*}
(f\odot (g\odot h))(x) = f(x) * (g\odot h)(x) = f(x) * (g(x) * h(x))\\
((f\odot g)\odot h)(x) = (f\odot g)(x) * h(x) = (f(x) * g(x)) * h(x)
\end{gather*}
Na základe asociatívnosti operácie $*$ vidíme, že výsledky sa zhodujú.
Teda funkcie $f\odot (g\odot h)$ a $(f\odot g)\odot h$ majú v každom bode rovnakú hodnotu, t.j. $f\odot (g\odot h)=(f\odot g)\odot h$.

Neutrálny prvok:

Spoiler:

Ak $1_G$ je neutrálny prvok v $G$, tak definujme funkciu $e\colon M\to X$ predpisom $e(x)=1_G$.
Táto funkcia spĺňa pre všetky $x\in M$:
\begin{align*}
(e\odot f) (x) = e(x) * f(x) = 1_G * f(x) &= f(x)\\
(f\odot e) (x) = f(x) * e(x) = f(x) * 1_G &= f(x)
\end{align*}
Teda platí $e\odot f=f\odot e=f$.

Inverzný prvok:

Spoiler:

Pre funkciu $f\colon M\to X$ definujme $\overline f\colon M\to G$ predpisom $\overline f(x)=\inv{(f(x))}$.
(Nechcel som pre túto funkciu použiť označenie $\inv f$, pretože takéto označenie by sa plietlo s označením pre inverzné zobrazenie.)
\begin{align*}
(\overline f \odot f)(x) = \overline f(x) * f(x) = \inv{(f(x))} * f(x) &= 1_G \\
(f \odot \overline f)(x) = f(x) * \overline f(x) = f(x) * \inv{(f(x))} &= 1_G
\end{align*}
Zistili sme, že $\overline f \odot f = f \odot \overline f = e$, t.j. $\overline f$ je inverzný prvok k $f$.

Ak $(G,*)$ je komutatívna, tak aj $(G^M,\odot)$ je komutatívna.

Spoiler:

$$(f\odot g)(x)=f(x)*g(x) \overset{*}=g(x)*f(x) = (g\odot f)(x)$$
Rovnosť označená hviezdičkou je miesto, kde sme využili komutatívnosť.
Zistili sme, že funkcie $f\odot g$ a $g\odot f$ majú v každom bode rovnakú hodnotu, teda $f\odot g=g\odot f$.