Z $a\mid bc$ a $\gcd(a,b)=1$ vyplýva $a\mid c$

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
Ukážte, že pre $a, b, c\in \Z$ z $a\mid bc$ a $\gcd(a,b)=1$ vyplýva $a\mid c$.

Riešenie.
Z rovnosti $\gcd(a,b)=1$ vyplýva existencia $x,y\in\Z$ takých, že
$$ax+by=1.$$

Z tejto rovnosti po vynásobení číslom $c$ dostaneme
$$axc+bcy=c.$$
Oba sčítance na ľavej strane sú celočíselné násobky čísla $a$. (Pre druhý sčítanec to vyplýva z $a\mid bc$.)

Teda aj súčet je násobkom čísla $a$.
$\square$

[Martin Sleziak]

Riešenie pomocou kanonického rozkladu.

Nejaká drobná výhrada k tomu, že ste to niektorí riešili s použitím kanonického rozkladu.
Typicky pri dôkaze existencie a jednoznačnosti kanonického rozkladu na nejakom mieste použijeme takéto tvrdenie. (Aj keď nám vlastne stačí mať ho k dispozícii pre prvočísla.)
Čiže sa oplatí zamyslieť nad tým, či toto nie je dôkaz do kruhu. (Alebo či to k cyklickému argumentu nemá do istej miery blízko.)
Nijako som ale v zadaní nešpecifikoval, že by bolo zakázané používať základnú vetu aritmetiky. (A ako som spomínal, protiargument by mohol byť, že tam nám stačí takéto niečo v prípade, že $a$ je prvočíslo.) Takže som za to body nestrhával.