Tento výsledok niektorí poznáte aj z iných predmetov.$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\polynu}[3]{#1_{#3}#2^{#3}+\dots+#1_1#2+#1_0}\newcommand{\Ldots}[3]{#1_{#2},\ldots,#1_{#3}}$
Nech $\alpha=\frac pq$, kde $p,q\in\Z$, $q\ne 0$ a $\gcd(p,q)=1$. Dokážte, že ak $\alpha$ je koreňom polynómu $f(x)=\polynu axn$ takého, že $\Ldots a0n\in\Z$, $a_n\ne0$, tak nutne platí $p\mid a_0$ a $q\mid a_n$. (T.j. dostávame takto nutné podmienky pre racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientami.)
Wikipédia: Rational root theorem
Máme rovnosť $$a_n \frac{p^n}{q^n} + a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}} + \dots + a_1 \frac pq + a_0=0.$$
Po vynásobení oboch strán číslom $q^n$ dostaneme $$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \dots + a_1 pq^{n-1} + a_0q^n = 0.$$
Po úprave z tejto rovnosti vieme dostať:
\begin{align*}
a_np^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \dots a_1pq^{n-1} &= -a_0q^n\\
p(a_np^{n-1} + a_{n-1}p^{n-2}q + \dots a_1q^{n-1}) &= -a_0q^n
\end{align*}
Potom musí platiť:
\begin{align*}
p &\mid a_0 q^n \\
p &\mid a_0
\end{align*}
Pričom v poslednom kroku sme využili, že $\gcd(p,q)=1$.
Podobne vieme dostať aj:
\begin{align*}
- a_np^n &= a_{n-1}p^{n-1}q + \dots a_1pq^{n-1} + a_0q^n\\
- a_np^n &= q ( a_{n-1}p^{n-1} + \dots a_1pq^{n-2} + a_0q^{n-1})\\
\end{align*}
Z toho vyplýva:
\begin{align*}
q&\mid a_np^n\\
q&\mid a_n
\end{align*}
Aj tu sme opäť využili $\gcd(p,q)=1$.