Prednášky ZS 2024/25 - teória čísel

[Martin Sleziak]

10. týždeň (25.11.):
Möbiova inverzia. Möbiova funkcia, Dirichletov súčin, Möbiova inverzia.
Eulerova funkcia. Ukázali sme si, že $\limsup_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}n=1$ a $\liminf_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}n=0$. Tiež sme stručne povedali ako z toho vidno, že $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}n=0$. (Túto vec vieme odvodiť napr. aj z Čebyševovej nerovnosti alebo z prvočíselnej vety. Argument, ktorý sme videli, sa dá nájsť v texte na konci podkapitoly 5.1.)
Súčasne sme ukázali pomocné tvrdenie o nekonečnom súčine: Zo $\sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty.$ vyplýva $\prod_{k=1}^\infty (1-a_k)=0.$

[Martin Sleziak]

11. týždeň (25.11.):
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$.
Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $8k+7$.
Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
Ukázali sme, že ak $p=4k+3$, tak $q=2p+1$ je prvočíslo p.v.k $q\mid M_p$. Wikipédia: Sophie Germain primes.

[Martin Sleziak]

12. týždeň (9.12.):
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.

[Martin Sleziak]

13. týždeň (16.12.):
Ukázali sme, že $3$ je kvadratický zvyšok modulo prvočíslo $p>3$ p.v.k. $p=12k\pm1$.
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol a ukázali sme niektoré základné vlastnosti. Povedali sme si, že pri Jacobiho symbole už neplatí, že $a$ je kvadratický zvyšok p.v.k. $\left(\frac{a}{P}\right)=1$.
Ukázali sme si, že aj pre Jacobiho symbol platia vzťahy $\left(\frac{-1}{P}\right)=(-1)^{(P-1)/2}$ a $\left(\frac{2}{P}\right)=(-1)^{(P^2-1)/8}$ a platí preň aj zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.

Kvadratické zvyšky modulo zložené čísla. Stihli sme povedať výsledok, ktorý hovorí, kedy je $a$ kvadratický zvyšok modulo $p^n$ pre nepárne $p$ a pre $p\nmid a$.
Nehovoril som o prípade $p=2$ (t.j. ako vyzerajú kvadratické zvyšky pre mocniny dvojky.)
Ale aspoň stručne som spomenul, že na základe takýchto výsledkov by som to potom vedel urobiť modulo ľubovoľné číslo ak poznám jeho kanonický rozklad - na základe čínskej zvyškovej vety.