Úloha 5.2.8 - hodnosť matice

[Oleh Pedchenko]

1) $
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & -2 & 2 \\
2 & 2 & -1 & -1 \\
3 & 3 & -4 & -4
\end{pmatrix}\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+(-2)I\\
+(-3)I
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -2 & -2 & 2 \\
0 & 6 & 3 & -5 \\
0 & 9 & 2 & -10
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{2}\\
+(-\frac{3}{2})II
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -2 & -2 & 2 \\
0 & 6 & 3 & -5 \\
0 & 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}
\end{pmatrix}
$

Matica A je ekvivalentná matici, ktorá má trojuholníkový tvar, v ktorom sú tri nenulové riadky, preto h(A) = 3.

2) $
A = \begin{pmatrix}
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
7 & -5 & 1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\leftarrow\\
\phantom{2}\\
\leftarrow\\
\phantom{4}
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\
3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\
7 & -5 & 1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+(-5)I\\
+(-3)I\\
+(-7)I
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\
0 & 8 & 18 & 2 & 26 \\
0 & 16 & 36 & 4 & 50
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
⊙\frac{1}{3}\\
⊙\frac{1}{2}\\
+(-2)III
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
0 & 4 & 9 & 1 & 13 \\
0 & 4 & 9 & 1 & 13 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
0 & 4 & 9 & 1 & 13 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{2}\\
\leftarrow\\
\leftarrow
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\
0 & 4 & 9 & 1 & 13 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

Matica A je ekvivalentná matici, ktorá má trojuholníkový tvar, v ktorom sú tri nenulové riadky, preto h(A) = 3.

3) $
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 & 0 & -1 \\
2 & 6 & 1 & 10 & 0 & 0 \\
5 & 15 & 2 & 25 & -1 & -4 \\
3 & 9 & 1 & 15 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
+(-2)I\\
+(-5)I\\
+(-3)I
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\phantom{1}\\
\phantom{2}\\
+(-2)II\\
\phantom{4}
\end{matrix}
\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 5 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

Matica A je ekvivalentná matici, ktorá má trojuholníkový tvar, v ktorom sú tri nenulové riadky, preto h(A) = 3.

JG: OK, 2 body