V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Prednášky LS 2024/25 - Algebra 3
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - Algebra 3
1. prednáška (17.2):
Grupy. Stručne sme zopakovali niektoré veci o grupách, ktoré už poznáme z prvého ročníka. (Definícia grupy, zákony o krátení, vlastnosti inverzného prvku.)
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou.
V texte s poznámkami sú to, čo sme dnes prebrali, časti 11.1 a 11.2.
Grupy. Stručne sme zopakovali niektoré veci o grupách, ktoré už poznáme z prvého ročníka. (Definícia grupy, zákony o krátení, vlastnosti inverzného prvku.)
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou.
V texte s poznámkami sú to, čo sme dnes prebrali, časti 11.1 a 11.2.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - Algebra 3
2. prednáška (24.2):
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.
Niekoľko príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 11.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. Čo sa deje s rádom prvku pri homomorfizme/izomorfizme.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu (t.j. z kritéria pre podgrupu netreba pre konečné podmnožiny overiť "inverzné prvky").
V texte s poznámkami sme vlastne prešli časť 11.3 a začiatok z časti 11.4.
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.
Niekoľko príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 11.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. Čo sa deje s rádom prvku pri homomorfizme/izomorfizme.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu (t.j. z kritéria pre podgrupu netreba pre konečné podmnožiny overiť "inverzné prvky").
V texte s poznámkami sme vlastne prešli časť 11.3 a začiatok z časti 11.4.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - Algebra 3
3. prednáška (3.3):
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgrupa cyklickej grupy je cyklická. (Bez dôkazu som spomenul vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická. Túto vetu nebudem ani skúšať.)
Permutácie.
Pripomenuli sme definíciu a označenie pre permutácie (dvojriadkový zápis).
Definícia cyklu. Definícia disjunktných permutácií. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. Dôkaz nebol detailne - skôr som iba naznačil algoritmus, ktorým rozklad dostaneme a vysvetlil, prečo funguje.
Rád permutácie. Rád cyklu, ako sa počíta rád, keď je permutácia zapísaná ako súčin (kompozícia) disjunktných cyklov.
V texte s poznámkami sme dokončili časť 11.4 a začali časť 11.5..
[/quote]
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgrupa cyklickej grupy je cyklická. (Bez dôkazu som spomenul vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická. Túto vetu nebudem ani skúšať.)
Permutácie.
Pripomenuli sme definíciu a označenie pre permutácie (dvojriadkový zápis).
Definícia cyklu. Definícia disjunktných permutácií. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. Dôkaz nebol detailne - skôr som iba naznačil algoritmus, ktorým rozklad dostaneme a vysvetlil, prečo funguje.
Rád permutácie. Rád cyklu, ako sa počíta rád, keď je permutácia zapísaná ako súčin (kompozícia) disjunktných cyklov.
V texte s poznámkami sme dokončili časť 11.4 a začali časť 11.5..
[/quote]