V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=2044
viewtopic.php?t=1931
viewtopic.php?t=1771
viewtopic.php?t=1491
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416
Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
1. prednáška (18.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.
Ukázali sme si, ako sa $\liminf \varphi(n)/n=0$ dá použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$. (Pri dôkaze tohto výsledku sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. Konečná aditívnosť.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.
Ukázali sme si, ako sa $\liminf \varphi(n)/n=0$ dá použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$. (Pri dôkaze tohto výsledku sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
Tento týždeň sme mali dve prednášky - tým pádom bude menej problémov s náhradami za odpadnuté štvrtky (1. a 8. máj).
Dohodli sme sa, že odteraz už táto hodina bude bývať vo štvrtok 11.30.
2. prednáška (20.2.):
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme si vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$; ale jednoduchšiu verziu, kde používame $A_p=\{n\in A; p\mid n\}$. (V texte na stránke sa dá nájsť dôkaz analogickej vety pre $A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}$. A sú tam odkazy aj na ďalšiu literatúru, kde sa dá nájsť dôkaz tohto faktu.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou predošlých dvoch výsledkov sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Dohodli sme sa, že odteraz už táto hodina bude bývať vo štvrtok 11.30.
2. prednáška (20.2.):
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme si vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$; ale jednoduchšiu verziu, kde používame $A_p=\{n\in A; p\mid n\}$. (V texte na stránke sa dá nájsť dôkaz analogickej vety pre $A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}$. A sú tam odkazy aj na ďalšiu literatúru, kde sa dá nájsť dôkaz tohto faktu.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou predošlých dvoch výsledkov sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
3. prednáška (27.2.):
Logaritmická hustota.
Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.
Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.
(V texte nateraz preskočíme časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.)
Logaritmická hustota.
Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.
Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.
(V texte nateraz preskočíme časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5774
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2024/25 - teória čísel
4. prednáška (6.3.):
Štatistická konvergencia.
Definícia. Spomenul som, že sa takýto typ konvergencie dá zovšeobecniť na konvergenciu vzhľadom na nejaký filter. (V našom prípade je $\mathcal F_d=\{A\subseteq\mathbb N; d(A)=1\}$.) Takýmto typom konvergencie sme sa zaoberali aj na prednáške z všeobecnej topológie.
Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov.
Dokázali sme Abel-Pringsheim-Olivierovu vetu a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu. V súvislosti s históriou tejto vety pridám takúto linku: viewtopic.php?t=964
Okrem toho sme dokázali vetu, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť. (Pridám aj linku na článok, kde je táto veta dokázaná https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/136236. Je ale spísaný aj v texte s poznámkami.)
Štatistická konvergencia.
Definícia. Spomenul som, že sa takýto typ konvergencie dá zovšeobecniť na konvergenciu vzhľadom na nejaký filter. (V našom prípade je $\mathcal F_d=\{A\subseteq\mathbb N; d(A)=1\}$.) Takýmto typom konvergencie sme sa zaoberali aj na prednáške z všeobecnej topológie.
Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov.
Dokázali sme Abel-Pringsheim-Olivierovu vetu a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu. V súvislosti s históriou tejto vety pridám takúto linku: viewtopic.php?t=964
Okrem toho sme dokázali vetu, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť. (Pridám aj linku na článok, kde je táto veta dokázaná https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/136236. Je ale spísaný aj v texte s poznámkami.)