Úlohy ZS 2017/18

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad poľom $F$ a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Dokážte: Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ sú lineárne závislé vektory, tak aj $f(\vec\alpha_1), \ldots, f(\vec\alpha_n)$ sú lineárne závislé vektory.

Úloha 8.2. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $S$ je podpriestor priestoru $V$, tak $f[S]= \{f(\vec\alpha); \vec\alpha\in S\}$ je podpriestor priestoru $W$.
(Takto definovaná množina $f[S]$ sa nazýva obraz množiny $S$. Uvedené tvrdenie možno teda stručne sformulovať takto: Obraz podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $S=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $S=V$?

Úloha 8.3. Nech $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $T$ je podpriestor priestoru $W$, tak $f^{-1}[T]= \{\vec\alpha\in V: f(\vec\alpha)\in T\}$ je podpriestor priestoru $V$.
(Množina $f^{-1}[T]$ definovaná uvedeným spôsobom sa nazýva vzor množiny $T$. Teda stručne môžeme povedať, že toto tvrdenie hovorí: Vzor podpriestoru je podpriestor.)
Čo dostaneme na základe tohoto výsledku pre $T=\{\vec0\}$? Čo dostaneme pre $T=W$?

[Martin Sleziak]

Úloha 9.1. Nech $f\colon U\to V$, $g,h \colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Súčet lineárnych zobrazení definujeme ako $(g+h)(\vec\alpha)=g(\vec\alpha)+h(\vec\alpha)$. Vcelku ľahko sa dá ukázať, že súčet lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie. Dokážte, že platí $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f$. Čo tento výsledok hovorí o násobení matíc?

Úloha 9.2. $\newcommand{\Tra}{\operatorname{Tr}}$Pre štvorcovú maticu $C$ typu $n\times n$ budeme výraz $\Tra(C)=\sum_{k=1}^n c_{nn}$ nazývať stopa matice $C$. (T.j. stopa matice je súčet prvkov, ktoré sú na diagonále.)
Ukážte, že ak $A$, $B$ sú matice typu $n\times n$ nad poľom $F$, tak platia rovnosti $\Tra(A)=\Tra(A)^T$ a $\Tra(AB)=\Tra(BA)$.

Úloha 9.3. Nech $C=AB$, kde $A$, $B$ sú matice. Musí potom platiť $V_C\subseteq V_A$? Musí platiť $V_C\subseteq V_B$? Musí platiť $V_A\subseteq V_C$, $V_B\subseteq V_C$? (Svoje tvrdenie zdôvodnite, t.j. dokážte, alebo nájdite kontrapríklad.)

Úloha 9.4. Nech $A$, $B$ sú matice nad poľom $F$ typu $m\times n$ resp. $n\times k$. Dokážte, že $h(AB)\leq h(A)$. Dokážte, že ak $n=k$ a $B$ je regulárna, tak $h(AB)=h(A)$.

Úloha 9.5. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^4$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3)=(-2,3,1,3)$, $f(-3,1,-2)=(-1,-2,-10,-2)$, $f(1,1,2)=(-1,2,2,2)$ a $f$ je injektívne.

Úloha 9.6. Nájdite maticu zobrazenia $f\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^3$, ktoré spĺňa dané podmienky (alebo zdôvodnite, že také zobrazenie neexistuje):
$f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$, $f(3,1,4,1)=(0,1,3)$, $f(1,2,3,-4)=(2,5,0)$ a $f$ je surjektívne.

Úloha 9.7.
a) Nech $A$, $B$ sú matice (nad tým istým poľom) takých rozmerov, že sa dajú násobiť. Dokážte, že $(AB)^T=B^TA^T$.
b) Dokážte: Ak $A$ je symetrická matica, tak aj $A^n$ je symetrická matica pre každé $n\in\mathbb N$.

[Martin Sleziak]

Úloha 10.1. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,1,1,-1),(2,3,-1,-6),(3,4,0,-7)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.2. Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad $\mathbb R$, ktorej množina riešení je podpriestor $S=[(1,-1,-1,-1),(4,1,-1,0),(-2,1,2,3)]$ priestoru $\mathbb R^4$.

Úloha 10.3. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^3\to\mathbb Z_5^4$ takých, že $f(1,1,2)=(3,1,1,4)$, $f(1,3,4)=(0,1,1,1)$ a $f(2,1,3)=(0,2,2,2)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.4. Koľko existuje lineárnych zobrazení $f\colon\mathbb Z_5^4\to\mathbb Z_5^3$ takých, že $f(1,1,3,1)=(1,4,1,2)$, $f(1,2,0,1)=(1,0,2,3)$, $f(2,3,3,2)=(2,4,3,0)$? Koľko z nich je injektívnych? Koľko z nich je surjektívnych?

Úloha 10.5.
Definujme lineárne zobrazenie $f \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^2$ ako $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_1 + x_2 + 2x_3 - x_4, 2x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4)$ a označme $U_1=\operatorname{Ker} f$.

Ďalej definujme lineárne zobrazenie $g \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^4$ ako $g(y_1, y_2) = (y_1 - y_2, y_1 - 3y_2, 2y_1 - 8y_2, 3y_1 - 27y_2)$ a označme $U_2=\operatorname{Im} g$.

Vidíme, že $U_1$ aj $U_2$ sú podpriestory $\mathbb R^4$.

Nájdite bázy priestorov $U_1$, $U_2$, $U_1 \cap U_2$ a $U_1 + U_2$.

[Martin Sleziak]

Úloha 11.1.*
$
\begin{vmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \ldots & a_1^n \\
1 & a_2 & a_2^2 & \ldots & a_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_n & a_n^2 & \ldots & a_n^n \\
1 & a_{n+1} & a_{n+1}^2 & \ldots & a_{n+1}^n
\end{vmatrix}=?
$
(Výsledok by mal byť $\prod\limits_{1\le i<j\le n+1} (a_j-a_i)$, t.j. súčin výrazov tvaru $a_j-a_i$ pre všetky $i<j$.)

Úloha 11.2. Vypočítajte determinant matice
$\begin{vmatrix}
2 & c+1 & 0 \\
2 & c-1 & 2c \\
c & c & c
\end{vmatrix}$
Viete na základe výsledku povedať niečo o hodnosti tejto matice aspoň pre niektoré hodnoty parametra $c\in\mathbb R$?

Úloha 11.3.
$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & \ldots & 1\\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

Úloha 11.4.
$D_n=
\begin{vmatrix}
n & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & n & 1 & \ldots & 1 \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
1 & \ldots & 1 & 1 & n
\end{vmatrix}
=?$

[Martin Sleziak]

Ako som kedysi sľúbil, odkryl som riešenia starších úloh na fóre.
Čiže za riešenie úloh na fóre sa už nedajú získavať body. Ale na druhej strane, zasa azda výhodou je, že tu máte veľa rôznych vyriešených úloh.

Body za úlohy na fóre:
5 Martin Pašen
4 Ivan Agarský
4 Andrej Korman
1 Weiwei Chen