10. prednáška (28.4.):
Polynómy a polynomické funkcie. Rozdiel medzi polynómami a polynomickými funkciami. Polynómy a polynomické funkcie nie sú to isté.
Pre nekonečné polia by sme dostali izomorfné okruhy - ako si môžete prečítať v poznámkach k prednáške - na prednáške som to však nedokazoval. Nebudem to ani skúšať.
Niečo k tomu, že polynomická funkcia nad $\mathbb R$ je nulová p.v.k. všetky koeficienty sú nulové: viewtopic.php?t=1349 (Niektoré z tých argumentov prejdú pre ľubovoľné nekonečné pole.)
Dosadzovací homomorfizmus. (Máme homomorfizmus $F[x]\to F\langle x\rangle$, ktorý polynómu priradí funkciu. Ak si zvolíme bod $b\in F$, tak máme aj homomorfizmus $F[x]\to F$, ktorý polynómu priradí hodnotu príslušnej funkcie v bode $b$.)
Deliteľnosť v okruhoch. Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti, asociované prvky, delitele jednotky. Dva prvky sú asociované práve vtedy, keď sa líšia iba vynásobením deliteľom jednotky. (Nedokazoval som, že $(U(R),\cdot)$ je grupa.)
Euklidovské okruhy. Definícia, $\mathbb Z$ aj $F[x]$ sú Euklidovské okruhy.
Okruhy hlavných ideálov. Definícia, dokázali sme, že každý euklidovský okruh je OHI.
Deliteľnosť v okruhoch hlavných ideálov. Vysvetlili sme si, že $(a)\subseteq(b)$ $\Leftrightarrow$ $b\mid a$. Zadefinovali sme najväčší spoločný deliteľ. Ukázali sme si jeho súvis s ideálom $(a,b)=\{ax+by; x,y\in R\}$ a odvodili Bézoutovu identitu.
Ukázali sme, že ak $\gcd(a,b)=1$ a $a\mid bc$, tak $a\mid c$.
Nehovoril som o rozšírenom Euklidovom algoritme, ktorým sa dá vypočítať $d=\gcd(a,b)$ a aj nájsť $x$, $y$ také, že $d=ax+by$.
Je detailne popísaný v poznámkach, niečo o ňom sa dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=1346 a viewtopic.php?t=298
Prednášky LS 2021/22 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican, Ludovit_Balko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2021/22 - algebra
11. prednáška (28.4.):
Gaussove okruhy (okruhy s jednoznačným rozkladom) Definícia ireducibilného prvku a okruhu s jednoznačným rozkladom. Ireducibilné prvky v OHI súvisia s prvoideálmi, platí pre ne $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$.
Okruh hlavných ideálov je okruh s jednoznačným rozkladom. (A teda máme rozklad na ireduciblné prvky v $\mathbb Z$ aj v $F[x]$.)
Na príklade polynómu $x^4+1$ sme si ukázali, že rozklad polynómu na ireducibilné polynómy závisí od toho, nad akým poľom pracujeme. (V tomto prípade sme sa pozerali na ten istý polynóm ako na prvok z $\mathbb Q[x]$, $\mathbb R[x]$, $\mathbb C[x]$.) Do istej miery podobný príklad je polynóm $x^4+4$: viewtopic.php?t=1280
Charakteristika poľa. Ukázali sme, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. (Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný. Pripomeniem, že sa dal použiť napríklad na dôkaz, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ je pole: viewtopic.php?t=349 S nejakými dosť podobnými poľami budeme ešte dosť veľa robiť.)
Ukázali sme, že:
(V prvej časti sa dá dokázať, že v skutočnosti existuje injektívny homomofizmus z $\mathbb Q$ do $F$. Tento dôkaz som preskočil.)
Ukázali sme, že konečné pole má $p^n$ prvkov pre nejaké prvočíslo $p$.
Nedokazoval som, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$
V poznámkach na webe je v jednom dôkaze využité aj podielové pole - časť o podielovom poli som však preskočil. (Nebude sa ani skúšať.) Jediné, čo tu však potrebujeme je ako rozšírime homomorfizmus $\mathbb Z\to F$ na homomorfizmus $\mathbb Q\to F$, čo je vysvetlené aj tu: viewtopic.php?t=1283
Gaussove okruhy (okruhy s jednoznačným rozkladom) Definícia ireducibilného prvku a okruhu s jednoznačným rozkladom. Ireducibilné prvky v OHI súvisia s prvoideálmi, platí pre ne $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$.
Okruh hlavných ideálov je okruh s jednoznačným rozkladom. (A teda máme rozklad na ireduciblné prvky v $\mathbb Z$ aj v $F[x]$.)
Na príklade polynómu $x^4+1$ sme si ukázali, že rozklad polynómu na ireducibilné polynómy závisí od toho, nad akým poľom pracujeme. (V tomto prípade sme sa pozerali na ten istý polynóm ako na prvok z $\mathbb Q[x]$, $\mathbb R[x]$, $\mathbb C[x]$.) Do istej miery podobný príklad je polynóm $x^4+4$: viewtopic.php?t=1280
Charakteristika poľa. Ukázali sme, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. (Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný. Pripomeniem, že sa dal použiť napríklad na dôkaz, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ je pole: viewtopic.php?t=349 S nejakými dosť podobnými poľami budeme ešte dosť veľa robiť.)
Ukázali sme, že:
- Ak $F$ má nekonečnú charakteristiku, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z$ do $F$.
- Ak $F$ má charakteristiku $p$, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z_p$ do $F$.
(V prvej časti sa dá dokázať, že v skutočnosti existuje injektívny homomofizmus z $\mathbb Q$ do $F$. Tento dôkaz som preskočil.)
Ukázali sme, že konečné pole má $p^n$ prvkov pre nejaké prvočíslo $p$.
Nedokazoval som, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$
V poznámkach na webe je v jednom dôkaze využité aj podielové pole - časť o podielovom poli som však preskočil. (Nebude sa ani skúšať.) Jediné, čo tu však potrebujeme je ako rozšírime homomorfizmus $\mathbb Z\to F$ na homomorfizmus $\mathbb Q\to F$, čo je vysvetlené aj tu: viewtopic.php?t=1283
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2021/22 - algebra
12. prednáška (12.5.):
Konečné rozšírenia, pridanie koreňa.
Definovali sme konečné rozšírenie a stupeň rozšírenia. Ako príklady sme si spomenuli $[\mathbb C:\mathbb R]=2$, $[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$. Pole $\mathbb R$ ako rozšírenia poľa $\mathbb Q$ je príklad rozšírenia, ktoré nie je konečné. (Dá sa to zdôvodniť na základe kardinality.)
Ak $p(x)\in F[x]$ je ireducibilný polynóm, tak existuje rozšírenie poľa $F$, v ktorom tento polynóm má koreň. Môžeme ho dostať ako
$$K=F[x]/(p(x)).$$
Túto vetu sme detailne nedokazovali - ale aspoň som sa snažil ukázať, že $F[x]/(p(x))$ je pole, ako sa v ňom počíta, že obsahuje izomorfnú kópiu poľa $F$ a že $p(x)$ naozaj má v $K$ koreň.
Pozreli sme sa potom na túto konštrukciu na konkrétnych príkladoch. Videli sme, že $\mathbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1)$. Zostrojili sme štvorprvkové pole ako $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$. (A podobným spôsobom by sme vedeli dostať $p^n$-prvkové pole, ak máme nejaký polynóm stupňa $n$, ktorý je ireducibilný nad $Z_p$.)
Algebraické rozšírenia, algebraické čísla.
Definícia algebraického prvku a algebraického rozšírenia.
Jednoduché príklady algebraických čísel nad $\mathbb Q$. (Z vecí, ktoré sme sa naučili o spočítateľných množinách a o polynómoch, by sme už vedeli dostať, že takýchto čísel je iba $\aleph_0$. To znamená, že existujú reálne čísla, ktoré nie sú algebraické.)
Prvok je algebraický p.v.k. $F(u)$ je konečné rozšírenie poľa $F$. (Tu sme jednu implikáciu dokázali poriadne, v druhej by sme potrebovali fakt, že $F(u)\cong F[x]/(p(x))$, t.j. že konštrukcia s pridávaním koreňa je v podstate jednoznačná.)
Súčet dvoch algebraických prvkov je algebraický. (V dôkaze sme využili, že konečné rozšírenie konečného rozšírenia je opäť konečné rozšírenie - tento fakt bol iba spomenutý bez dôkazu.)
Podobnými úvahami sa dá ukázať, že množina algebraických prvkov je uzavretá aj na rozdiel, súčin, inverzy - teda tvorí pole.
Konečné rozšírenia, pridanie koreňa.
Definovali sme konečné rozšírenie a stupeň rozšírenia. Ako príklady sme si spomenuli $[\mathbb C:\mathbb R]=2$, $[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2$. Pole $\mathbb R$ ako rozšírenia poľa $\mathbb Q$ je príklad rozšírenia, ktoré nie je konečné. (Dá sa to zdôvodniť na základe kardinality.)
Ak $p(x)\in F[x]$ je ireducibilný polynóm, tak existuje rozšírenie poľa $F$, v ktorom tento polynóm má koreň. Môžeme ho dostať ako
$$K=F[x]/(p(x)).$$
Túto vetu sme detailne nedokazovali - ale aspoň som sa snažil ukázať, že $F[x]/(p(x))$ je pole, ako sa v ňom počíta, že obsahuje izomorfnú kópiu poľa $F$ a že $p(x)$ naozaj má v $K$ koreň.
Pozreli sme sa potom na túto konštrukciu na konkrétnych príkladoch. Videli sme, že $\mathbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1)$. Zostrojili sme štvorprvkové pole ako $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$. (A podobným spôsobom by sme vedeli dostať $p^n$-prvkové pole, ak máme nejaký polynóm stupňa $n$, ktorý je ireducibilný nad $Z_p$.)
Algebraické rozšírenia, algebraické čísla.
Definícia algebraického prvku a algebraického rozšírenia.
Jednoduché príklady algebraických čísel nad $\mathbb Q$. (Z vecí, ktoré sme sa naučili o spočítateľných množinách a o polynómoch, by sme už vedeli dostať, že takýchto čísel je iba $\aleph_0$. To znamená, že existujú reálne čísla, ktoré nie sú algebraické.)
Prvok je algebraický p.v.k. $F(u)$ je konečné rozšírenie poľa $F$. (Tu sme jednu implikáciu dokázali poriadne, v druhej by sme potrebovali fakt, že $F(u)\cong F[x]/(p(x))$, t.j. že konštrukcia s pridávaním koreňa je v podstate jednoznačná.)
Súčet dvoch algebraických prvkov je algebraický. (V dôkaze sme využili, že konečné rozšírenie konečného rozšírenia je opäť konečné rozšírenie - tento fakt bol iba spomenutý bez dôkazu.)
Podobnými úvahami sa dá ukázať, že množina algebraických prvkov je uzavretá aj na rozdiel, súčin, inverzy - teda tvorí pole.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2021/22 - algebra
Ešte rozšírenia polí.
Niektorí z vás mali záujem stretnúť sa ešte teraz pred septembrovými štátnicami a porozprávať sa o rozšíreniach polí. Časť z toho bola opakovaním vecí, ktoré ste už počuli - aj keď teraz som ich asi stihol o čosi poriadnejšie. A časť bola nová.
Nahrávku sme nechali v Teams, to čo som písal sa dá pozrieť tu: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg2/20230903rozs1.pdf
Z nejakého COVID-ového semestra sú nejaké videá k tomuto predmetu nahraté tu: viewtopic.php?t=1505 - je tam aj čAsť venovaná týmto témam.
Rozšírenia polí. Zopakovali sme definíciu rozšírenia poľa.
Ukázali sme si, že vieme vytvorením poľa $F[x]/(p(x))$ pridať koreň ireducibilho polynómu $p(x)$. Ukázali sme si to na príkladoch, pričom podrobnejšie sme sa pozreli na $\mathbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1)$. (A spomenuli sme, že podobne to funguje všeobecne - každá trieda je jednoznačne určená nejakým polynómom stupňa nanajvýš $n-1$.)
Definícia stupňa rozšírenia a konečného rozšírenia. Pole $\mathbb C$ je konečné rozšírenie poľa $\mathbb R$ (stupňa 2). Pole $\mathbb R$ nie je konečné rozšírenie poľa $\mathbb Q$.
Algbraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku a algebraického rozšírenia. Definícia minimálneho polynómu, minimálny polynóm je ireduciblný, platí $F(u)\cong F[x]/(m_u(x))$.
Štvorprvkové pole. Ukázali sme si, že $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$ je štvorprvkové pole; pričom sme si ukázali ako sa v tomto poli počíta a našli sme rozklad polynómov $x^2+x+1$ aj $x^4-x$ na súčin koreňových činiteľov.
Niektorí z vás mali záujem stretnúť sa ešte teraz pred septembrovými štátnicami a porozprávať sa o rozšíreniach polí. Časť z toho bola opakovaním vecí, ktoré ste už počuli - aj keď teraz som ich asi stihol o čosi poriadnejšie. A časť bola nová.
Nahrávku sme nechali v Teams, to čo som písal sa dá pozrieť tu: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg2/20230903rozs1.pdf
Z nejakého COVID-ového semestra sú nejaké videá k tomuto predmetu nahraté tu: viewtopic.php?t=1505 - je tam aj čAsť venovaná týmto témam.
Rozšírenia polí. Zopakovali sme definíciu rozšírenia poľa.
Ukázali sme si, že vieme vytvorením poľa $F[x]/(p(x))$ pridať koreň ireducibilho polynómu $p(x)$. Ukázali sme si to na príkladoch, pričom podrobnejšie sme sa pozreli na $\mathbb C\cong \mathbb R[x]/(x^2+1)$. (A spomenuli sme, že podobne to funguje všeobecne - každá trieda je jednoznačne určená nejakým polynómom stupňa nanajvýš $n-1$.)
Definícia stupňa rozšírenia a konečného rozšírenia. Pole $\mathbb C$ je konečné rozšírenie poľa $\mathbb R$ (stupňa 2). Pole $\mathbb R$ nie je konečné rozšírenie poľa $\mathbb Q$.
Algbraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku a algebraického rozšírenia. Definícia minimálneho polynómu, minimálny polynóm je ireduciblný, platí $F(u)\cong F[x]/(m_u(x))$.
Štvorprvkové pole. Ukázali sme si, že $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$ je štvorprvkové pole; pričom sme si ukázali ako sa v tomto poli počíta a našli sme rozklad polynómov $x^2+x+1$ aj $x^4-x$ na súčin koreňových činiteľov.