msleziak.com

10.týždeň (24.4.)
Teraz dvakrát bude v stredu voľno (1. a 8. máj) - spomenul som, že zadám nejaké domáce úlohy na polynómy; niečo z toho bude také, že budem chcieť aby ste si samostatne pozreli, ako sa tieto veci rátajú. (Budú sa odovzdávať na cvičeniach posledný týždeň.)
Aj z tohto dôvodu sme sa dnes zaoberali najmä polynómami - aj keď sme tým vlastne trochu predbehli prednášku.
Polynómy
Venovali sme sa príkladom z 07polyn.pdf. (V tejto sade úloh je viacero príkladov týkajúcich sa tém, ku ktorým sa na prednáške ešte iba dostaneme.)
Ukázali sme si jeden príklad na delenie so zvyškom (úloha 2b).
Rozmysleli sme si, že zvyšok pri delení polynómom $x-c$ sa rovná $f(c)$ (úloha 1).
Zopakovali nejaké veci o Hornerovej schéme a rozmysleli sme si aj to, že pomocou nej vlastne vieme vypočítať aj podiel a zvyšok pri delení polynómom tvaru $x-c$. Niečo viac k Hornerovej schéme je v texte na stránke a aj tu: viewtopic.php?t=1092
Hľadanie racionálnych koreňov - rozmysleli sme si nutnú podmienku pre racionálne korene polynómu s celočíselnými koeficientami (úloha 5).
Na úloha 6a sme si vyskúšali hľadanie racionálnych koreňov - tu bol zadaný polynóm dokonca dosť jednoduchý na to, že sme vedeli nájsť všetky korene.
Niečo k tejto téme na fóre: viewtopic.php?t=1091 (Opäť, aj k tomuto nájdete niečo aj v poznámkach na stránke.)
Okruhy, podpokruhy, homomorfizmy
Z 06okruhy.pdf.sme sa pozreli na úlohy 5 a 4.

13.týždeň (15.5.)
Ukázali sme si rozšírený Euklidov algoritmus a jeho zápis do tabuľky - najprv pre celé čísla a potom aj pre polynómy - konkrétne na úlohe 7b z 07polyn.pdf.
Pozreli sme sa na zdôvodnenie toho, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$.
Urobili sme argument, ktorý fungoval v $\mathbb C$ a bol založený na tom, že sme našli korene polynómu $x^2+x+1$.
Ten istý príklad je vyriešený tu: viewtopic.php?t=457 - je tam aj argument, ktorý funguje pre ľubovoľné pole.
Pre viaceré polynómy sme sa pozreli na to, či vieme nájsť ich korene v $\mathbb R$ resp. v $\mathbb C$. Konkrétne sme to spravili pre tieto polynómy:
a) $x^3-6x^2+11x-6$,
c) $x^4+4x^3+4x^2-1$,
e) $x^4-10x^2+1$.
Pri poslednom z nich sme sa pozreli aj na to, že $\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt2+\sqrt3$.