10. prednáška: (26.11.)
Lineárne zobrazenia. (pokračovanie). Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$. (V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme spravili jeden taký príklad, ale povedal som, že pri tomto algoritme môžu nastať 3 prípady, situácie, budeme takéto niečo robiť na cvičení, rozoberieme, aké situácie môžu nastať a ako ich riešiť).
Zloženie dvoch lineárnych zobrazení je opäť lineárne (ak sa dajú zložiť).
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení. $A_{g\circ f}=A_f\cdot A_g$ (pozor na poradie!!!).
Stručne som povedal niečo o príklade týkajúcom sa zloženia dvoch rotácií. (V texte na webe je to príklad 5.4.5.) V tomto príklade dostaneme súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
(Niečo podobné sa dá odvodiť pomocou komplexných čísel. Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571)
Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie $f\colon U\to V$ (pre prípad, keď je $d(U)=n$) injektívne, kedy je surjektívne (a teda aj kedy je bijektívne). Z dôkazu sme zatiaľ spravili len jednu implikáciu v časti pre injektívnosť.
Máte zadanie novej domácej úlohy, tu je linka.
Tu je niečo k riešeniam.
Prednášky ZS 2024/2025 - Algebra (1)
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
jaroslav.gurican
- Posts: 244
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
-
jaroslav.gurican
- Posts: 244
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2024/2025 - Algebra (1)
11. prednáška: (3. 12. 2024)
Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne (a teda aj bijektívne). Dokončili sme dôkaz.
Pre lin. zobrazenie $f\colon U\to V$, keď $d(U)=d(V)$ je bijektívnosť ekvivalentná injektívnosti, ekvivalentná surjektívnosti.
Inverzná matica. Ak $f$ je lineárne a bijektívne tak aj $f^{-1}$ je lineárne. Regulárne a singulárne matice, inverzná matica, matica inverzného bijektívneho lin. zobrazenia (aj spôsob výpočtu takých matíc). K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Asociatívnosť násobenia matíc (ak sa dajú vynásobiť) a ďalšie vlastnosti (distributívnosť $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$, násobenie jednotkovou maticou $I_mA=A$, $AI_n=A$ pre maticu $A$ typu $m\times n$).
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov nad poľom $F$ a ukázali sme, konečnorozmerné v.p. sú izomorfné práve vtedy, keď majú rovnakú dimenziu, t.j. že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí.
Na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú ako riadky lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách (ľahko to vidieť aj bez súvisu "elementárnych riadkových operácií a súčinu matíc", priamo z definície súčinu matíc).
Máte zadanie novej domácej úlohy, tu je linka.
Tu je niečo k riešeniam
Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne (a teda aj bijektívne). Dokončili sme dôkaz.
Pre lin. zobrazenie $f\colon U\to V$, keď $d(U)=d(V)$ je bijektívnosť ekvivalentná injektívnosti, ekvivalentná surjektívnosti.
Inverzná matica. Ak $f$ je lineárne a bijektívne tak aj $f^{-1}$ je lineárne. Regulárne a singulárne matice, inverzná matica, matica inverzného bijektívneho lin. zobrazenia (aj spôsob výpočtu takých matíc). K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Asociatívnosť násobenia matíc (ak sa dajú vynásobiť) a ďalšie vlastnosti (distributívnosť $A(B+C)=AB+AC$, $(A+B)C=AC+BC$, násobenie jednotkovou maticou $I_mA=A$, $AI_n=A$ pre maticu $A$ typu $m\times n$).
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov nad poľom $F$ a ukázali sme, konečnorozmerné v.p. sú izomorfné práve vtedy, keď majú rovnakú dimenziu, t.j. že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí.
Na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú ako riadky lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách (ľahko to vidieť aj bez súvisu "elementárnych riadkových operácií a súčinu matíc", priamo z definície súčinu matíc).
Máte zadanie novej domácej úlohy, tu je linka.
Tu je niečo k riešeniam
-
jaroslav.gurican
- Posts: 244
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2024/2025 - Algebra (1)
12. prednáška: (10. 12. 2024)
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách.
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Ukázali sme, ako vyzerá báza priestoru riešení - veta 5.7.4, vektory $\vec{\gamma}_{r+1},\dots,\vec{\gamma}_{n}$ podľa označenia (5.4). (z toho sme dostali to, že dimenzia podpriestoru riešení je $n-h(A)$, kde $A$ je matica sústavy) a ukázali sme nejaké príklady, ako sa má táto veta použiť - t.j. ako nájsť/"prečítať" bázu (vektory $\vec{\gamma}_{r+1},\dots,\vec{\gamma}_{n}$) podpriestoru riešení danej homogénnej sústavy z RTM tvaru matice sústavy $A$.
Nehomogénne sústavy. Množina riešení nehomogénnej sústavy nie je podpriestor, môže byť dokonca prázdna. Frobeniova veta - nehomogénna sústava s maticou $A$ a rozšírenou maticou $A^\prime$ má riešenie práve vtedy, keď $h(A)=h(A^\prime)$.
Domáca úloha je tu.
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách.
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Ukázali sme, ako vyzerá báza priestoru riešení - veta 5.7.4, vektory $\vec{\gamma}_{r+1},\dots,\vec{\gamma}_{n}$ podľa označenia (5.4). (z toho sme dostali to, že dimenzia podpriestoru riešení je $n-h(A)$, kde $A$ je matica sústavy) a ukázali sme nejaké príklady, ako sa má táto veta použiť - t.j. ako nájsť/"prečítať" bázu (vektory $\vec{\gamma}_{r+1},\dots,\vec{\gamma}_{n}$) podpriestoru riešení danej homogénnej sústavy z RTM tvaru matice sústavy $A$.
Nehomogénne sústavy. Množina riešení nehomogénnej sústavy nie je podpriestor, môže byť dokonca prázdna. Frobeniova veta - nehomogénna sústava s maticou $A$ a rozšírenou maticou $A^\prime$ má riešenie práve vtedy, keď $h(A)=h(A^\prime)$.
Domáca úloha je tu.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 244
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2024/2025 - Algebra (1)
13. prednáška: (16. 12. 2024)
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy ($T=S+\vec\alpha$, kde $S$ je podpriestor riešení "príslušnej" homogénnej sústavy a $\vec\alpha$ je jedno konkrétne riešenie danej nehomogénnej sústavy, aj sme si znovu ukázali ako hľadať bázu $S$ a aj ako potom už rýchlo nájsť aj vektor $\vec\alpha$).
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Povedal som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $S$ v.p. $F^n$ je množinou riešení nejakej homogénnej sústavy lin. rovníc, ukázali sme ako sa tá sústava dá pre daný podpriestor $S\subseteq F^n$ nájsť. Nebudem ju skúšať - len chcem, aby ste to vedeli spraviť pre konkrétny prípad podpriestoru.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil.
Determinanty. Definovali sme pojem $i(\varphi)$ pre permutáciu $\varphi$ - počet tzv. inverzií permutácie $\varphi$.
Definovali sme determinant matice $A$ $n\times n$. Povedali sme si nasledujúce vlastnosti, s tým, že si to máte ešte pozrieť v texte (kapitola 6):
1. $det(A)=det(A^T)$, $det(I)=1$
2. ak sú v $A$ 2 riadky rovnaké je $det(A)=0$
3. ERO typu 1: ak $B$ vznikne z $A$ výmenou dvoch riadkov, zmení sa znamienko determinantu, t.j. bude platiť $det(B)=-det(A)$
4. ERO typu 2: ak $B$ vznikne z $A$ vynásobením $i-$teho riadku prvkom $0\ne c\in F$, determinant $B$ bude $c$ násobok determinantu $A$, t.j. bude platiť $det(B)=cdet(A)$ (platí to aj pre $c=0$, i keď vtedy to nie je ERO)
5. ERO typu 3: ak $B$ vznikne z $A$ pričítaním $c$ násobku $i-$teho riadku ku $j-$temu riadku (pre $i\ne j$), determinant $B$ bude rovnaký ako determinant $A$, t.j. bude platiť $det(B)=det(A)$, t.j. ERO typu 3 nemení hodnotu determinantu.
6. $det(AB)=det(A)det(B)$ (ak sa $A$, $B$ dajú vynásobiť)
7. Laplaceov rozvoj determinantu podľa $i-$teho riadku (alebo $j-$teho stĺpca) - toto si pozrite v texte, príklad 6.3.1 (str. 128) a veta 6.3.2 (na prednáške som to, čo je vo vete 6.3.2 označené ako $M_{rs}$ som na prednáške označoval ako $A_{ij}$, v texte má $A_{ij}$ iný význam).
8. Ukázali sme si Sarrusovo pravidlo na výpočet determinantu matice $3\times 3$ (nedá sa použiť pre $4\times 4$,...)
Čo som nepovedal, ale je to ľahký dôsledok uvedených vlastností je tvrdenie, že pre maticu $A$, ktorá je $n\times n$ je $h(A)=n$ práve vtedy, keď $det(A)\ne 0$, čiže regularita matice $A$ sa dá zistiť vypočítaním jej determinantu (veta 6.3.15).
Tiež sa použitím Laplaceovho rozvoja dá ľahko zistiť, že ak $A$ je trojuholníková matica (nemusí to byť RTM), tak jej determinant je súčin prvkov na diagonále (veta 6.3.11) a to sa potom spolu s 3.-5. dá pomocou gaussovskej eliminácie použiť na výpočet determinantu danej matice (ale treba strážiť, koľkokrat ste pri eliminácii vymenili riadky, lebo to mení znamienko a čím ste v priebehu eliminácie násobili riadky - ERO typu 2, tým potom musíte postupne vydeliť).
Determinanty majú zaujímavé aplikácie, najjednoduchšie z nich sú Cramerovo pravidlo na riešenie "dobrých" nehomogénnych sústav lineárnych rovníc a výpočet inverznej matice (ak existuje) pomocou determinantov (toto je väčšinou dôležité pre teóriu, v praxi sa to moc nepoužíva, ale môžete si skúsiť pomocou týchto vzorcov spraviť vzorec pre inverznú maticu $2\times 2$).
Na skúške nebudem skúšať nič z kapitoly o determinantoch (z "teórie"), ale chcem, aby ste vedeli vypočítať jednoduché determinanty - také príklady sa v rámci písomky na skúške môžu objaviť.
Dosť ma o mrzí, že zatiaľ nikto neprispel do fóra, za každé správne riešenie úlohy, ktorá nebola riešená v rámci cvičenia (ani ako domáca úloha) ste mohli získať dva body (max. 4 bodov na človeka). Tá možnosť tu stále je, fórum za týmto účelom necháme otvorené do 22. 12. 2024 (nedeľa, do 23:59:59). Riešenia, ktoré prídu po tomto termíne už nebudeme bodovať.
Ohľadom skúšok pridám nový topic.
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy ($T=S+\vec\alpha$, kde $S$ je podpriestor riešení "príslušnej" homogénnej sústavy a $\vec\alpha$ je jedno konkrétne riešenie danej nehomogénnej sústavy, aj sme si znovu ukázali ako hľadať bázu $S$ a aj ako potom už rýchlo nájsť aj vektor $\vec\alpha$).
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.
Povedal som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $S$ v.p. $F^n$ je množinou riešení nejakej homogénnej sústavy lin. rovníc, ukázali sme ako sa tá sústava dá pre daný podpriestor $S\subseteq F^n$ nájsť. Nebudem ju skúšať - len chcem, aby ste to vedeli spraviť pre konkrétny prípad podpriestoru.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil.
Determinanty. Definovali sme pojem $i(\varphi)$ pre permutáciu $\varphi$ - počet tzv. inverzií permutácie $\varphi$.
Definovali sme determinant matice $A$ $n\times n$. Povedali sme si nasledujúce vlastnosti, s tým, že si to máte ešte pozrieť v texte (kapitola 6):
1. $det(A)=det(A^T)$, $det(I)=1$
2. ak sú v $A$ 2 riadky rovnaké je $det(A)=0$
3. ERO typu 1: ak $B$ vznikne z $A$ výmenou dvoch riadkov, zmení sa znamienko determinantu, t.j. bude platiť $det(B)=-det(A)$
4. ERO typu 2: ak $B$ vznikne z $A$ vynásobením $i-$teho riadku prvkom $0\ne c\in F$, determinant $B$ bude $c$ násobok determinantu $A$, t.j. bude platiť $det(B)=cdet(A)$ (platí to aj pre $c=0$, i keď vtedy to nie je ERO)
5. ERO typu 3: ak $B$ vznikne z $A$ pričítaním $c$ násobku $i-$teho riadku ku $j-$temu riadku (pre $i\ne j$), determinant $B$ bude rovnaký ako determinant $A$, t.j. bude platiť $det(B)=det(A)$, t.j. ERO typu 3 nemení hodnotu determinantu.
6. $det(AB)=det(A)det(B)$ (ak sa $A$, $B$ dajú vynásobiť)
7. Laplaceov rozvoj determinantu podľa $i-$teho riadku (alebo $j-$teho stĺpca) - toto si pozrite v texte, príklad 6.3.1 (str. 128) a veta 6.3.2 (na prednáške som to, čo je vo vete 6.3.2 označené ako $M_{rs}$ som na prednáške označoval ako $A_{ij}$, v texte má $A_{ij}$ iný význam).
8. Ukázali sme si Sarrusovo pravidlo na výpočet determinantu matice $3\times 3$ (nedá sa použiť pre $4\times 4$,...)
Čo som nepovedal, ale je to ľahký dôsledok uvedených vlastností je tvrdenie, že pre maticu $A$, ktorá je $n\times n$ je $h(A)=n$ práve vtedy, keď $det(A)\ne 0$, čiže regularita matice $A$ sa dá zistiť vypočítaním jej determinantu (veta 6.3.15).
Tiež sa použitím Laplaceovho rozvoja dá ľahko zistiť, že ak $A$ je trojuholníková matica (nemusí to byť RTM), tak jej determinant je súčin prvkov na diagonále (veta 6.3.11) a to sa potom spolu s 3.-5. dá pomocou gaussovskej eliminácie použiť na výpočet determinantu danej matice (ale treba strážiť, koľkokrat ste pri eliminácii vymenili riadky, lebo to mení znamienko a čím ste v priebehu eliminácie násobili riadky - ERO typu 2, tým potom musíte postupne vydeliť).
Determinanty majú zaujímavé aplikácie, najjednoduchšie z nich sú Cramerovo pravidlo na riešenie "dobrých" nehomogénnych sústav lineárnych rovníc a výpočet inverznej matice (ak existuje) pomocou determinantov (toto je väčšinou dôležité pre teóriu, v praxi sa to moc nepoužíva, ale môžete si skúsiť pomocou týchto vzorcov spraviť vzorec pre inverznú maticu $2\times 2$).
Na skúške nebudem skúšať nič z kapitoly o determinantoch (z "teórie"), ale chcem, aby ste vedeli vypočítať jednoduché determinanty - také príklady sa v rámci písomky na skúške môžu objaviť.
Dosť ma o mrzí, že zatiaľ nikto neprispel do fóra, za každé správne riešenie úlohy, ktorá nebola riešená v rámci cvičenia (ani ako domáca úloha) ste mohli získať dva body (max. 4 bodov na človeka). Tá možnosť tu stále je, fórum za týmto účelom necháme otvorené do 22. 12. 2024 (nedeľa, do 23:59:59). Riešenia, ktoré prídu po tomto termíne už nebudeme bodovať.
Ohľadom skúšok pridám nový topic.